2017　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　四面体$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$の長さは$3\text{，}\mathrm{\angle ABC}=\mathrm{\angle ACD}=60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{\angle ACB}=75\mathrm{°}\text{，}\mathrm{\angle ADB}=\mathrm{\angle ADC}=90\mathrm{°}$であるとする．このとき，辺$\mathrm{AD}$の長さを求めると，$\boxed{\text{(a)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　赤玉が$5$個，蒼玉が$4$個，白玉が$3$個入った袋がある．この袋から$4$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が$2$個以上かつ蒼玉が$1$個以上である確率は$\boxed{\text{(b)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$1$辺の長さが$1$の正六角形の頂点を反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{EP}$の長さを求めると$\boxed{\text{(c)}}$である．

【２】　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,1,2)\text{，}\mathrm{C}(3,-1,-1)$を取る．点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$へ下ろした垂線と平面$\mathrm{OAB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$5^n$を十進法で表したとき，ちょうど$50$桁になるような自然数$n$を求めると，$n=\boxed{\text{(ア)}}$である．必要があれば，$0.301<{\log }_{10}2<0.302$を用いよ．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$のとき，関数$y=|x^2-1|-x^2+x+1$の最大値$M$および最小値$m$を求めると，$(M,m)=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$n$を自然数とする．$\sqrt{n^2+2017}$が自然数となるような$n$を求めると，$n=\boxed{\text{(ウ)}}$である．必要があれば，$2017$は素数であることを用いてよい．

【４】　$a$を実数の定数とし，$f(x)=x^3+3a{x}^2+3x$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$が極大値および極小値をそれぞれ一つずつ取るような$a$の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとし，$f(x)$が$x=p$で極大値を取り，$x=q$で極小値を取るとする．$xy$平面に点$\mathrm{A}(p,f(p))\text{，}$点$\mathrm{B}(q,f(q))$を取るとき，次の条件を満たす$a$をすべて求めよ．

条件：点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の中点が直線$y=-x$上にある．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+4x+5}{x^2+1}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．$y=f(x)$の凹凸を調べる必要はない．

(3)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．