2017　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　$a$を実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の定積分を$a$を用いて表せ．

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\pi x-a\sin x)}^{2}dx$

(2)　$a$が実数全体を動くとき

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\pi x-a\sin x)}^{2}dx$

の最小値を求めよ．

【２】　立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の$8$つの頂点から$4$つの頂点を選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)　$4$つの頂点のどの$3$点も立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の同一の面上にないような選び方は何通りあるか．

(2)　$4$つの頂点のうち立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$の同一の面上にある$3$点の組がちょうど$2$つだけであるような選び方は何通りあるか．

【３】　数列$\{a_n\}$は次を満たすとする．

$a_1=6\text{，}{a}_{n+1}=1+a_1{a}_2\cdots a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ここで，$a_1{a}_2\cdots a_n$は$a_1$から$a_n$までの積を表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$以上の自然数$n$に対して，$a_{n+1}-1=a_n(a_n-1)$が成り立つことを証明せよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$の和を求めよ．