2017　東北大学　AOⅡ期理学部数学系MathJax

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2017　東北大学　AOⅡ期理学部数学系

易□　並□　難□

【１】　 $x, y$ 平面内の曲線 $y = 2 x^{3} - 2 x$ を $C$ とする． $C$ 上の点 $P$ $(p, 2 p^{3} - 2 p)$ における接線を $l_{P} ，$ 点 $Q$ $(q, 2 q^{3} - 2 q)$ における接線を $l_{Q}$ とする． $P$ と $Q$ が $2$ 条件

(ⅰ)　 $- 1 ≦ p < q ≦ 1$
(ⅱ)　 $l_{P}$ と $l_{Q}$ は平行

を満たすように動くとする．このとき， $2$ 直線 $l_{P} ，$ $l_{Q}$ 間の距離 $d_{P, Q}$ が最大となる $p$ の値と $d_{P, Q}$ の最大値を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $x ≧ 0$ における関数

$f (x) = \int_{0}^{x} \frac{{(1 + x^{2} + t)}^{2}}{{(1 + x^{2} - t)}^{3}} dt$

の最大値を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】(1)　虚部が正である複素数 $z$ に対して，複素数 $w$ を $w = \frac{z - i}{z + i}$ と定める．このとき， $| w | < 1$ となることを示せ．

(2)　 $w$ を $| w | < 1$ を満たす複素数とする．このとき， $w = \frac{z - i}{z + i}$ を満たす複素数 $z$ を $w$ を用いて表せ．また，この $z$ の虚部は正であることを示せ．

(3)　 $w$ が $| w | < 1$ を満たし，かつ実部が $0$ である複素数全体を動くとき， $w = \frac{z - i}{z + i}$ を満たす $z$ の動く範囲を複素数平面上に図示せよ．

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易□　並□　難□

【４】　 $n$ を $3$ 以上の自然数とする． $1$ から $n$ までの $n$ 個の自然数の中から無作為に $1$ つの数を選び，その数を $a_{1}$ とする．次に再び $1$ から $n$ までの $n$ 個の自然数の中から無作為に $1$ つの数を選び，その数を $a_{2}$ とする．この操作を $n$ 回繰り返し，数列 $a_{1},$ $a_{2},$ $\dots,$ $a_{n}$ を定める．以下の問題で， $e = \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ を用いてもよい．ただし， $e$ は自然対数の底を表す．

(1)　 $1$ から $n$ までのすべての数が少なくとも $1$ 回は現れる数列が得られる確率を求めよ．

(2)　同じ数が続くことはない数列が得られる確率を求めよ．

(3)　同じ数が $3$ 回続くことはないが，同じ数が $2$ 回続くことがちょうど $k$ 回ある数列が得られる確率を $P_{n, k}$ とする．ただし， $k$ は $2 k ≦ n$ を満たす自然数である．このとき， $k$ を固定し， $n \to \infty$ とした極限 $\lim_{n \to \infty} P_{n, k}$ を求めよ．

(4)　すべての自然数 $n$ に対して

$e ≧ 1 + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!}$

となることを示せ．