2017　福島大学　後期理工学群MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の関数を微分しなさい．

$y=e^{x^2}\sin x$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の定積分の値を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_{-1}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1}{x^2+3}}dx$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　以下の不等式を解きなさい．ただし，$a\text{，}b$は$a^2>p$を満たす正の数とする．

$|x-a|\cdot |x+a|-p<0$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　大人$4$人，子ども$4$人が横$1$列に並ぶ．このとき，両端が大人であり，かつ，大人が隣り合わない並び方は何通りあるか求めなさい．

【２】　$2$つの複素数$\alpha =i\text{，}z=1-\sqrt{3}i$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$z$を極形式で表しなさい．

(2)　以下の$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$に入る値を求めなさい．

　$z$は$\alpha$を原点を中心として$\boxed{\text{ア}}$だけ回転し，原点からの距離を$\boxed{\text{イ}}$倍したものである．

(3)　$z^n$が正の実数となる最小の自然数を$n$とする．このとき，$n$および$z^n$の絶対値を求めなさい．

【３】　等比数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_{100}=9009\text{，}{S}_{200}=36036$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\{a_n\}$の公比を$r$とするとき，$r^{100}$の値を求めなさい．

(2)　$S_{300}$の値を求めなさい．

【４】　$xy$平面上の点$(x,y)$が$2$つの不等式$y\geqq x^2-1\text{，}y\leqq 2x+2$の表す領域を動くとき，次の問いに答えなさい．

(1)　点$(x,y)$の動く領域を図示しなさい．

(2)　点$(x,y)$の動く領域の面積を求めなさい．

(3)　$x^2+y^2-6x+9$の最小値を求めなさい．ただし，最小値をとるときの$x\text{，}y$の値を求める必要はない．

(4)　$x^2+y^2-6y+9$の最大値を求めなさい．ただし，最大値をとるときの$s\text{，}y$の値を求める必要はない．