2017　筑波大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の実数とする．$2$つの関数

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}a{x}^2-2a^{2}x+{\displaystyle \frac{7}{3}}{a}^3\text{，}y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}a{x}^2+2a^{2}x-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3$

のグラフは，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わる．但し，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を結ぶ線分の垂直二等分線を$l$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　原点と直線$l$の距離$d$を$a$を用いて表せ．また，$a>0$の範囲で$d$を最大にする$a$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$\beta \text{，}m$をそれぞれ$0<\beta <1\text{，}m>0$を満たす実数とする．また，関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=\beta \text{，}-\beta$で極値をとり，$f(-1)=f(\beta )=-m\text{，}f(1)=f(-\beta )=m$を満たすとする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}$および$\beta \text{，}m$の値を求めよ．

(2)　関数$g(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$は，$-1\leqq x\leqq 1$に対して$f(-1)\leqq g(x)\leqq f(1)$を満たすとする．$h(x)=f(x)-g(x)$とおくとき，$h(-1)\text{，}h(-\beta )\text{，}h(\beta )\text{，}h(1)$それぞれと$0$との大きさを比較することにより，$h(x)$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+2}=3{a_{n+1}}^2-6a_{n+1}{a}_n+3{a_n}^2+a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n\geqq 0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の一の位の数が$2$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$a_{2017}$の一の位の数を求めよ．

【４】　関数

$f(x)=2x^2-9x+14-{\displaystyle \frac{9}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$

について以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(2)　関数$f(x)$のすべての極値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【５】　$xy$平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．また，実数$a$に対して，$a$以下の最大の整数を$[a]$で表す．記号$[]$をガウス記号という．以下の問いでは$N$を自然数とする．

(1)　$n$を$0\leqq n\leqq N$を満たす整数とする．点$(n,0)$と点$(n,N\sin ({\displaystyle \frac{\pi n}{2N}}\left)\right)$を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ．

(2)　直線$y=x$と，$x$軸，および直線$x=N$で囲まれた領域（境界を含む）にある格子点の個数を$A(N)$とおく．このとき$A(N)$を求めよ．

(3)　直線$y=N\sin \left({\displaystyle \frac{\pi x}{2N}}\right)\text{（}0\leqq n\leqq N\text{）}$と，$x$軸，および直線$x=N$で囲まれた領域（境界を含む）にある格子点の個数を$B(N)$とおく．(2)の$A(N)$に対して$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{B(N)}{A(N)}}$を求めよ．

【６】　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．複素数平面上において，原点を中心とする半径$1$の円の上に異なる$5$点${\mathrm{P}}_1(w_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(w_2)\text{，}{\mathrm{P}}_3(w_3)\text{，}{\mathrm{P}}_4(w_4)\text{，}{\mathrm{P}}_5(w_5)$が反時計回りに並んでおり，次の$2$つの条件(Ⅰ)，(Ⅱ)を満たすとする．

(Ⅰ)　$({\cos }^{2}a){(w_2-w_1)}^2+({\sin }^{2}a){(w_5-w_1)}^2=0$が成り立つ．

(Ⅱ)　${\displaystyle \frac{w_3}{w_2}}$と$-{\displaystyle \frac{w_4}{w_2}}$は方程式$z^2-\sqrt{3}z+1=0$の解である．

また，五角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5$の面積を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　五角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5$の頂点${\mathrm{P}}_1$における内角$\angle {\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を求めよ．

(2)　$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$R=|w_1+w_2+w_3+w_4+w_5|$とする．このとき，$R^2+2S$は$a$の値によらないことを示せ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【２】から１題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学III選択者　【４】か【５】か【６】から2題選択

人間学群

　教育学類，心理学類 　【１】，【２】，【３】必須，【４】，【５】，【６】から1題選択

障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　数学III選択者　【４】〜【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類，地球学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

理工学群

　数学類，物理学類，化学類，応用理工学類，工学システム学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

　社会工学類

　　　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】必須

情報学群

　情報科学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【５】必須

　情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】から1題選択，【３】〜【６】必須

　知識情報・図書館学類

　　選択１　【２】〜【６】から2題選択

　　選択２　【１】，【３】〜【６】から2題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から2題選択