2017　筑波技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$4x^2-26x+12$を因数分解しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$(2+3i)(1-2i)$を計算しなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$\sin 165\mathrm{°}$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　${16}^{\frac{2}{3}}÷\sqrt[3]{4^7}\times {\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{-\frac{1}{2}}$を計算しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(5)　${\log }_{4}12-{\log }_2\sqrt{3}+{\log }_{16}4$を計算しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(6)　導関数の定義$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$にしたがって，関数$f(x)=x^2$の導関数を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　整式$x^3+2x^2+3x-4$を整式$A$で割ると，商が$x+3$で，余りが$5x-7$である．このとき，整式$A$を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(5,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(8,6)$とする．

(ア)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めなさい．

(イ)　$\mathrm{O}$を中心とし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線に接する円の方程式を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　放物線$y=x^2+(2a-4)x-4a+6$は$a$の値に関わらず，ある$1$点を通る．この点の座標を以下のようにして求める．このとき，$$にあてはまる数・式を答えなさい．

　$y=x^2+(2a-4)x-4a+6$を$a$について整理すると，$\text{A}+a\times \text{B}=0$となる．

　これが$a$の値に関係なく成立すればよいので，連立方程式$\text{A}=0\text{，}$$\text{B}=0$を解けばよい．これより，求める座標は$(\text{C},\text{D})$となる．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(4)　$30$人のクラスで，英語が得意な人が$13$人，数学が得意な人が$16$人，どちらも得意ではない人が$7$人のとき，英語と数学の両方が得意な人の人数を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(5)　$2016$年度プロ野球公式戦セントラル・リーグの記録において，ホームラン数，$2$塁打数，四球数のそれぞれと勝利数の散布図および相関係数は以下の通りであった（一般社団法人日本野球機構の公開データを使用）．

このとき，以下の説明文において，$$に入れるのに最も適当なものをそれぞれ下の選択肢から一つ選び記号で答えなさい．

(ア)　ホームラン数が$$方が勝利数は増える傾向にある．

$\text{(a) 多い}$$\text{(b) 少ない}$

(イ)　ホームラン数が勝利数に与える影響は，四球数が勝利数に与える影響$\text{．}$

$\text{(a) よりも大きい}$$\text{(b) よりも小さい}$$\text{(c) と同等である}$

(ウ)　$2$塁打数は勝利数と$\text{．}$

$\text{(a) 正の強い相関がある}$$\text{(b) 負の強い相関がある}$$\text{(c) ほとんど相関がない}$

【３】　$2$つの関数$f(x)=x^2-2x+1$と$g(x)=2x^2+a$$\text{（}a$は定数）について，以下の問いに答えなさい．

(1)　放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．

(2)　$-3\leqq x\leqq 3$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めなさい．

(3)　$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が共有点を持たないとき，$a$の値の範囲を求めなさい．

(4)　放物線$y=f(x)$の$x=2$における接線が放物線$y=g(x)$に接するとき，$a$の値を求めなさい．

(5)　$a=1$のとき，$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$に囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　スマートフォンのゲームの中で，宝箱を開ける操作を行う．この宝箱を$1$回開けると，「レッドマン」，「ブルーマン」，「イエローマン」，「グリーンマン」，「ピンクマン」の$5$種類のカードからいずれか$1$枚が出る．ここで，宝箱を開けたときにいずれかのカードが出る確率は，宝箱を開けた回数やカードの種類によらず等しいものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　宝箱を$1$回開けたとき，「レッドマン」か「イエローマン」のカードが出る確率を求めなさい．

(2)　宝箱を$2$回開けたとき，出た$2$枚のカードが同じ種類である確率を求めなさい．

(3)　宝箱を$3$回開けたとき，出た$3$枚のカードの種類が「ブルーマン」，「グリーンマン」，「ピンクマン」である確率を求めなさい．その際，カードの出る順番は問わない．

(4)　宝箱を$5$回開けただけで，すべての種類のカードが出そろう確率を求めなさい．

(5)　宝箱を$6$回開けるまでの間に，すべての種類のカードが出そろう確率を求めなさい．

【５】　$\mathrm{AC}$を対角線とする$1$辺の長さが$\sqrt{5}$の正方形$\mathrm{ABCD}$があり，この正方形に外接する円$P$がある．円$P$の短い方の孤$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{E}$があり，線分$\mathrm{DE}$の長さを$\sqrt{2}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　円$P$の半径の長さを求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle AED}$の大きさを求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．

(4)　線分$\mathrm{AE}$の長さを求めなさい．

(5)　四角形$\mathrm{ABDE}$の面積を求めなさい．