2017　千葉大学　前期MathJax

【１】　定数$a$は$0\leqq a\leqq 1$をみたすとする．座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2)\text{，}\mathrm{C}(a,0)$をとる．点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上にあり，$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{OA}$をみたすものとする．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{C}$以外を動くときの$▵\mathrm{PQC}$の面積の最大値を$S$とする．

(1)　$a=1$のときの$S$を求めよ．

(2)　$S$を$a$を用いて表せ．

【２】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(9,0)$がある．線分$\mathrm{OB}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{PAQ}=90\mathrm{°}$となるようにとる．ただし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は点$\mathrm{P}$の$x$座標より大きいものとする．$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とし，$\angle \mathrm{APQ}$の面積を$S$とする．

(1)　$S$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S$の最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(3)　$S$が$▵\mathrm{AOB}$の面積の${\displaystyle \frac{2}{3}}$倍となるとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の整数とするとき，次を証明せよ．

(1)　$a^3-a$は$3$の倍数である．

(2)　$a-b$が$3$の倍数ならば，$a^3-b^3$は$9$の倍数である．

(3)　$a^3-b^3$は，$3$の倍数ならば$9$の倍数である．

【４】　$1$個のさいころを$3$回投げて，以下のルールで各回の得点を決める．

・$1$回目は，出た目が得点になる．

・$2$回目は，出た目が$1$回目と同じならば得点は$0\text{，}$異なれば出た目が得点になる．

・$3$回目は，出た目が$1$回目または$2$回目と同じならば得点は$0\text{，}$どちらとも異なれば出た目が得点になる．

$3$回の得点の和を総得点とし，総得点が$n$となる確率を$p_n$とする．

(1)　総得点$n$の最大値，最小値と，それらの$n$に対する$p_n$を求めよ．

(2)　$p_6$を求めよ．

【５】　$n$を$4$以上の整数とする．座標平面上で正$n$角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_n$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接している．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_3}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_4}$とし，$k=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とおく．そして，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$と線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4$との交点$\mathrm{P}$は線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$を$t:1-t$に内分するとする．

(1)　$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{d}$を，$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　$t$を$k$を用いて表し，${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t<{\displaystyle \frac{3}{4}}$を示せ．

(3)　不等式${\displaystyle \frac{▵{\mathrm{PA}}_2{\mathrm{A}}_3}{▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4}}>{\displaystyle \frac{1}{12}}$を示せ．

【６】　座標平面上の点$(a,b)$から曲線$y=x^3-3x$に引ける接線の本数を$n$とする．

(1)　$n=3$をみたすような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(2)　$-3a<b$かつ$n\leqq 2$をみたすように点$(a,b)$が動くとき，$b-3a$の最小値を求めよ．

【７】　$1$個のさいころを$3$回投げて，以下のルールで各回の得点を決める．

・$1$回目は，出た目が得点になる．

・$2$回目は，出た目が$1$回目と同じならば得点は$0\text{，}$異なれば出た目が得点になる．

・$3$回目は，出た目が$1$回目または$2$回目と同じならば得点は$0\text{，}$どちらとも異なれば出た目が得点になる．

$3$回の得点の和を総得点とし，総得点が$n$となる確率を$p_n$とする．

(1)　総得点$n$の最大値，最小値と，それらの$n$に対する$p_n$を求めよ．

(2)　$p_6$を求めよ．

(3)　$p_n$が最大となるような$n$と，そのときの$p_n$を求めよ．

【８】　$t$を$0$以上の実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(q,q^2)$で$3$つの条件

$\mathrm{PQ}=2\text{，}p<q\text{，}p+q=\sqrt{t}$

をみたすものを考える．$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．ただし，点$\mathrm{P}$または点$\mathrm{Q}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合は$S=0$とする．

(1)　$p$と$q$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$S$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S=1$となるような$t$の個数を求めよ．

【９】　複素数平面上の点$z(z\ne -{\displaystyle \frac{i}{2}})$に対して，$w={\displaystyle \frac{z+2i}{2z+i}}$とする．

(1)　点$z$が原点を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$w$の描く図形を求めよ．

(2)　点$z$が点$\alpha$を中心とする半径$1$の円周上を動くとき，点$w$は原点を中心とする半径$r$の円周を描く．このような$r$と$\alpha$の組をすべて求めよ．

【10】　曲線$C$は曲線$y=-e^x$を平行移動したものとする．$C$と曲線$y=e^{-x}$は$x$座標が$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$である点を共有し，その点で共通の接線を持つとする．$C$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$が最大となるような$t$の値がただ$1$つ存在することを示せ．

【11】　数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=1+{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_5$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$の式で表せ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$が収束することを示し，その和を求めよ．

【12】　曲線$C$は曲線$y=-e^x$を平行移動したものとする．$C$と曲線$y=e^{-x}$は$x$座標が$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$である点を共有し，その点で共通の接線を持つとする．$C$と$x$軸と$y$軸とで囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(t)$が最大となるような$t$の値がただ$1$つ存在することを示せ．

(4)　$S(t)$が最大となるような$t$の値を$\alpha$とすると，$\alpha >\log {\displaystyle \frac{12}{5}}$であり，$S(\alpha )<{\displaystyle \frac{95}{144}}$となることを示せ．必要ならば$\log {\displaystyle \frac{24}{5}}<1.57$を用いてもよい．

志望別問題選択一覧

数学I数学A

教育学部(小学(音楽，図工，体育を除く)，特別支援，幼稚園，中学(技術))　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I数学II数学A数学B

　国際教養学部，文学部(行動科学コース)，法政経学部，園芸学部，

　先進科学プログラム(物理化学・生命化学，人間科学)

　　【２】，【４】，【５】，【６】

教育学部(中学(数学))　【２】，【３】，【４】，【５】， 【６】，【８】

数学I数学II数学III数学A数学B

理学部(物理，化学，生物，地球科学科)，薬学部，工学部

先進科学プログラム(物理，工学)

　【５】，【７】，【８】，【９】，【10】

医学部【５】，【７】，【９】，【11】，【12】

理学部（数学・情報数理学科）　【５】，【７】， 【８】，【９】，【11】，【12】