2017　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$1$から$3n+1$までの自然数を並べかえて，順に

$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n+1}\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n\text{，}{c}_1\text{，}{c}_2\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$

とおく．また，次の条件(C1)，(C2)が成立しているとする．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$n=1$かつ$a_1=1$のとき，$a_2\text{，}{b}_1\text{，}{c}_1$を求めよ．

(2)　$n=2$かつ$a_1=7$のとき，$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2\text{，}{c}_1\text{，}{c}_2$を求めよ．

(3)　$n\geqq 2$かつ$a_1=1$のとき，$a_3$を求めよ．

(4)　$n=2017$かつ$a_1=1$のとき，$a_{29}\text{，}{b}_{29}\text{，}{c}_{29}$を求めよ．

【２】　$xyz$空間において，点$\mathrm{O}(0,0,0)$と点$\mathrm{A}(0,0,1)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を直径にもつ球面を$\sigma$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　球面$\sigma$の方程式を求めよ．

(2)　$xy$平面上にあって$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{AP}$と球面$\sigma$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を示せ．

(3)　点$\mathrm{S}(p,q,r)$を，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AS}}=-{\left|\overrightarrow{\mathrm{OS}}\right|}^2$を満たす，$xy$平面上にない定点とする．$\sigma$上の点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OS}}\perp \overrightarrow{\mathrm{SQ}}$を満たしながら動くとき，直線$\mathrm{AQ}$と$xy$平面との交点$\mathrm{P}$はどのような図形を描くか．$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を用いて答えよ．

【３】　連続関数$f(x)$と定数$a$が次の関係式を満たしている．

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=4a{x}^3+(1-3a)x+{\displaystyle {\int }_0^x\{{\displaystyle {\int }_0^u}f(t)dt\}du+{\displaystyle {\int }_x^1}\{{\displaystyle {\int }_u^1}f(t)dt\}du}$

このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a$と$f(0)+f(1)$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=e^{-2x}f(x)$とおくとき，$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(3)　$f(x)$を求めよ．

【２】　$xyz$空間において，点$\mathrm{O}(0,0,0)$と点$\mathrm{A}(0,0,1)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を直径にもつ球面を$\sigma$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　球面$\sigma$の方程式を求めよ．

(2)　$xy$平面上にあって$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(u,v,0)$に対して，線分$\mathrm{AP}$と球面$\sigma$との交点を$\mathrm{Q}(x,y,z)$とするとき，$x\text{，}y\text{，}z$を$u\text{，}v$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}(a,b,c)$を，$\sigma$上にあって$\mathrm{O}$とも$\mathrm{A}$とも異なる定点とする．$\sigma$上にあって$\mathrm{A}$とも$\mathrm{R}$とも異なる点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{RQ}}$を満たしながら動くとき，直線$\mathrm{AQ}$と$xy$平面との交点$\mathrm{P}$はどのような図形を描くか．$a\text{，}b\text{，}c$を用いて答えよ．

【３】　連続関数$f(x)$が次の関係式を満たしている．

$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt-{\displaystyle {\int }_x^1}f(t)dt$

このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f(0)+f(1)$の値を求めよ．

(2)　$g(x)=e^{-2x}f(x)$とおくとき，$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．ここで$e$は自然対数の底を表す．

(3)　$f(x)$を求めよ．