2017　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を整数とし，$f(x)=x^3+ax+b$とおく．方程式$f(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha +\beta +\gamma =0$であることを示せ．

(2)　$\alpha$が無理数で

$\beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }^3-4\text{，}\gamma ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\beta }^2-4$

が成り立つとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　実数$s\text{，}t$に対し，$xy$平面上で直交する$2$直線$x+sy-2=0$と$tx+y-2=0$を考える．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$t$を$s$の式で表せ．

(2)　$s$の値が変化するとき，$2$直線の交点の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　整式$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}\cdots \text{，}{f}_n(x)\text{，}\cdots$を

$f_1(x)=x\text{，}{f}_{n+1}(2x)=2f_n(x)+{\{f_n(x)\}}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　${f_n}^{\prime }(0)\text{，}{f_n}^{″}(0)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$において不等式$f_n(x)\leqq f_{n-1}(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

【４】　自然数$n$に対し，$0<t<1$において関数$f_n(t)$を

$f_n(t)={\displaystyle \frac{1}{2t}}{\displaystyle {\int }_0^1}|x^n-t|dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

で定義する．このとき，下の問いに答えよ．

(1)　$f_n(t)$の最小値$a_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\cdot a_{n+1}\cdot \cdots \cdot a_{2n-1}$を求めよ．