2017　東京農工大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

[1]　　$m\text{，}n$を整数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(m+2,n,8)\text{，}\mathrm{B}(n,-2m-3,8)\text{，}\mathrm{C}(8,9,0)$をとる．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が平行であり，かつ$m+n\geqq 100$となるような整数の組$(m,n)$のうち，$m$が最小であるものを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が垂直となるような正の整数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

[2]　(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は整数で，$1\leqq a\leqq b\leqq c$を満たすとする．このとき，等式${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}=1$が成り立つような組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の逆数の和が$1$となる確率を求めよ．

【２】　$s$を正の実数とし，$x$の$2$次方程式$x^2+6x+s+9=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ここで，$0\leqq \arg \alpha <\arg \beta <2\pi$とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )$に対し，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}(-2+i)$を通る円を$F$とし，円$F$の中心を$\mathrm{F}(\gamma )$とする．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

[1]　$s$の値を求めよ．

[2]　$\gamma$の値を求めよ．

[3]　$t$を正の実数とする．$|z-\gamma |=|z-ti|$を満たす点$z$全体のなす図形が円$F$とただ$1$つの共有点をもつとき，$t$の値を求めよ．

[4]　$t$を[3]で求めた値とし，点$\mathrm{Q}(ti)$をとる．また，$\mathrm{R}(\delta )$を円$F$上の点とする．$\angle \mathrm{QPR}={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$となるような$\delta$の値をすべて求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\log {\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}\text{（}-1<x<1\text{）}$

で定め，$f(x)$の逆関数を$g(x)$とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

[1]　$0<x<1$において，不等式

$f(x)>2(x+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5}})$

が成り立つことを示せ．

[2]　$g(x)$を求めよ．ただし答えのみでよい．

[3]　$t$を正の実数とする．$xy$平面において，曲線$y=g(x)$と$y$軸，および$2$直線$x=t\text{，}y=1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

[4]　曲線$y={\{g(x)\}}^2$上の点$(p,{\{g(p)\}}^2)$における接線を$l$とする．接線$l$の傾きが最大になる$p$の値と，そのときの傾きを求めよ．

【４】　$a$は正の実数とする．$xy$平面上に$2$曲線

$C_1\text{：}y=a(1-x^2)\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

$C_2\text{：}x=\cos t\text{，}y={\displaystyle \frac{1-\sin t}{\sin t}}(0<t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

がある．$y$軸と曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V_1$とする．また，$x$軸と曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V_2$とする．$V_1+V_2={\displaystyle \frac{128}{15}}\pi$のとき，次の問いに答えよ．

[1]　$a$の値を求めよ．

[2]　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点の座標を求めよ．

[3]　$V_2$の値を求めよ．