2017　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　関数$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|e^{2x}-t|dx+{\displaystyle {\int }_0^1}|e^x-t|dx$の$1<t<e$における最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

【２】　$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=90\mathrm{°}$であるような四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}=\sqrt{2}a\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{3}a\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60\mathrm{°}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\sqrt{a^7}$であるとする．ただし，$a$は正の数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{BC}$を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OA}=x\text{，}\mathrm{OB}=y\text{，}\mathrm{OC}=z$として，$x^2\text{，}{y}^2\text{，}{z}^2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　$a$の値を求めよ．

【３】　すべての実数$x$に対して定義された関数$f(x)\text{，}g(x)$は，次の$3$つの条件をみたすとする．

(ア)　$f(x)\text{，}g(x)$はいずれも周期$1$をもつ周期関数である

(イ)　$0\leqq x\leqq 1$のとき，$f(x)=-x^2+x$

(ウ)　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$g(x)=x^2$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$の範囲で$f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$0\leqq x\leqq 2$のとき，等式$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}f(2x)+g(x)$が成り立つことを示せ．