2017　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

2017　金沢大学　前期　人間社会学域

易□　並□　難□

【１】　 $▵ ABC$ において， $∠ A$ は直角で， $∠ B < ∠ C$ とし， $BC = 2$ とする． $∠ B = θ$ とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺 $AB ， AC$ の長さ，および $▵ ABC$ の面積 $S$ を $θ$ を用いて表せ．

(2)　 $▵ ABC$ の内接円 $O$ の半径 $r$ を $θ$ を用いて表せ．

(3)　辺 $BC$ の垂直二等分線が，内接円 $O$ と接するとき， $θ$ と $r$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　次の問いに答えよ．ただし， ${}_{m}C_{k}$ は $m$ 個から $k$ 個取る組合せの総数を表す．

(1)　 $k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ に対して， ${}_{7}C_{k}$ は $7$ の倍数であることを示せ．

(2)　 $p$ は素数とし， $k$ は $1 ≦ k ≦ p - 1$ を満たす自然数とする． ${}_{p}C_{k}$ は $p$ の倍数であることを示せ．

(3)　すべての自然数 $n$ に対して， $n^{7} - n$ は $7$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて示せ．

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【３】　 $a > 0$ とし，放物線 $C ： y = a {(x - 1)}^{2} + 1$ を考える． $C$ 上の点 $P$ における $C$ の接線 $l$ の方程式を $y = A x + B$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $P$ の $x$ 座標を $s$ とするとき， $A$ と $B$ を $a$ と $s$ を用いて表せ．

(2)　接線 $l$ は，原点 $O (0, 0)$ を通り，傾きは正であるとする．このとき， $l$ の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線 $l$ と放物線 $C$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S (a)$ を求めよ．

(4)　 $\frac{S (a)}{\sqrt[4]{a}}$ の最小値とそのときの $a$ の値を求めよ．