2017　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　曲線$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．定数$k>1$に対して，点$\mathrm{Q}(x(t),y(t))$は次をみたす．

・$\mathrm{PQ}=k$

・直線$\mathrm{PQ}$は点$\mathrm{P}$での$C_1$の接線に垂直

・$y(t)>{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．

(2)　$x(t)\text{，}y(t)$を求めよ．

(3)　$t$の関数$x(t)$の極値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が曲線$C_1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{n+2k}}\text{，}{b}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{{(n+2k)}^3}}\text{，}{c}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n+2k}}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$のとき$\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$x>0$のとき不等式$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}<\sin x$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の極限を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

【３】　$a$を定数として$f(x)=\{x^2+(1-a)x+a\}{e}^{-x}$とおく．

(1)　曲線$y=f(x)$が変曲点をもつとき，その点を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，原点を通るものが存在することを示せ．

(3)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，原点を通るものがちょうど$2$本であるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　座標空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$があり，次を満たす．

$\mathrm{A}(0,0,3)\text{，}\mathrm{B}(0,2\sqrt{3},1)\text{，}\mathrm{C}(2,0,1)\text{，}$

$\mathrm{BD}=4\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=-12$

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{3}$の球を$K$とする．

(1)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{OD}=\sqrt{5}$のとき，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．さらに，四面体$\mathrm{ABCD}$と球$K$の共通部分の体積$V$を求めよ．