2017　京都大学　特色入試理学部MathJax

【１】　$r$を$0<r\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす有理数とする．$xy$平面上の点列${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$を

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}=(1,0)$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}=(0,1)$

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+2}}=\{2\cos (\pi r)\}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の条件(A)を満たすような$r$をすべて求めよ．

(A)　すべての自然数$n$について，$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}\right|\geqq 1$が成立する．

【２】　$n$を自然数とする．実数$a_n$を

$a_n={\displaystyle {\int }_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}}\mathit{dx}$

で定める．

　以下の設問に答えよ．

(1)　$a_1$と$a_2$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対し，$a_n$は正の有理数であることを示せ．さらに，$a_n$を互いに素な自然数$b_n$と$c_n$を用いて$a_n={\displaystyle \frac{c_n}{b_n}}$と表すとき，$b_n$は奇数であることを示せ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う，初期状態として，台の上に$n$個の石が置いてある．最初に$\mathrm{A}\text{，}$次に$\mathrm{B}$の順で交互に，台から$1$個以上の石を取り除いていく，ただし一度に取り除く個数は自然数の$2$乗でなければならない．台の上に石がない状態にした方を勝者として，そこでゲームを終了する．

　このゲームが先手必勝であるとは，$\mathrm{A}$が自分の番で取り除く石の個数を適切に選択していけば，$\mathrm{B}$がいかなる選択を行っても，必ず$\mathrm{A}$が勝利できることとする．同様に，このゲームが後手必勝であるとは，$\mathrm{B}$が自分の番で適切に選択を行っていけば，Aがいかなる選択を行っても必ずBが勝利できることとする．

　例えば，$n=10$のとき，最初に$\mathrm{A}$が取り除ける石の個数は$1\text{，}$$\mathrm{4}\text{，}$$9$のいずれかである．

・$\mathrm{A}$が$1$個取り除くならば，残りの石の個数は$9$となる．この状態において$\mathrm{B}$が取り除ける石の個数は$1\text{，}$$4\text{，}$$9$のいずれかである．$\mathrm{B}$が$9$個取り除くという選択を行うと$\mathrm{B}$が勝利する，

・$\mathrm{A}$が$9$個取り除くならば，残りの石の個数は$1$となる．次に$\mathrm{B}$が$1$個取り除いて$\mathrm{B}$が勝利する．

・$\mathrm{A}$が$4$個取り除くならば，残りの石の個数は$6$となる．この状態において$\mathrm{B}$が取り除ける石の個数は$1\text{，}$$4$のいずれかである．$\mathrm{B}$が$4$個取り除くという選択を行うと，残りの石の個数は$\mathrm{2}$となる．この状態において$\mathrm{A}$が取り除ける石の個数は$1$のみであり，その次に$\mathrm{B}$が$1$個取り除いて$\mathrm{B}$が勝利する．

したがって，$\mathrm{B}$が自分の番で取り除く石の個数を適切に選択していけば，必ず$\mathrm{B}$が勝利できるので，$n=10$のときのゲームは後手必勝である．

　以下の設問に答えよ．

(1)　どの自然数$n$に対しても，このゲームは先手必勝または後手必勝のいずれか一方であることを示せ．

(2)　$n=456$のとき，このゲームは先手必勝であることを示せ．

(3)　このゲームが後手必勝となる$n$は無限に多く存在することを示せ．

【４】　$xy$平面上の格子点とは，その点の$x$座標と$y$座標がともに整数となる点のことをいう．$n$を$2$以上の整数とする．$xy$平面上で不等式

$0\leqq x\leqq n-1\text{，}$$0\leqq y\text{，}$$\sqrt{5}y\leqq x$

で表される領域を$D_n$とする．$D_n$に属する格子点の個数を$S_n$とおく．

　例えば，$n=5$のときは，領域$D_5$に属する格子点は$(0,0)\text{，}$$(1,0)\text{，}$$(2,0)\text{，}$$(3,0)\text{，}$$(4,0)\text{，}$$(3,1)\text{，}$$(4,1)$の$7$個であるから，$S_5=7$となる．また，$n=9$のときは，右の図のように領域$D_9$に属する格子点は全部で$21$個存在するから，$S_9=21$である．

以下の設問に答えよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}}$を示せ．

(2)　以下の条件(H)を満たすような実数$C$は存在しないことを示せ．

(H)　すべての自然数$n$について，$|S_n-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}{n}^2}{10}}|<C$が成立する．