2017　広島大学　AO入試教育学部

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　平面において，三角形の$3$つの内角の和は$180\mathrm{°}$であることを証明せよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　次の数の大小を比較せよ．$i$は虚数単位，$e$は自然対数の底とし，必要ならば$2.7<e<2.8$を用いてもよい．

$\left|{\displaystyle \frac{2}{1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}i}}\right|\text{，}{\left({\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{2}}}\right)}^8\text{，}1+{\log }_{8}e\text{，}1+{\mathrm{lolg}}_{8}2$

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{A}$を整数全体の集合とし，$\mathrm{B}=\{5m+7n|m\text{，}n\in \mathrm{A}\}$とする．$\mathrm{A}=\mathrm{B}$であることを証明せよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　次のように定義される数列の一般項$a_n$を求めよ．

$a_1=1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=n$

【１】　以下の各問いに答えよ．

(5)　次の曲線の（　）内に示された部分の長さを求めよ．

$x=2017+\cos t\text{，}y=t+\sin t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$

【２】　円に内接する五角形$\mathrm{ABCDE}$において，

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=1\text{，}\mathrm{DE}=2\text{，}\mathrm{EA}=3$

とする．また，対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AD}$の長さをそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ABC}=\theta$として，$\alpha$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ACD}$に着目して，$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　四角形$\mathrm{ACDE}$に着目して，$\alpha$が$4$次方程式

$x^4+6x^3-2x^2-18x-12=0$

の解であることを示せ．

(4)　(3)の$4$次方程式の左辺を$f(x)$とおく．関数$f(x)$の極値を調べ，そのグラフをかけ．

(5)　次の二つの不等式を示せ．

$\sqrt{3}<\alpha <2\text{，}\sqrt{6}<\beta <\sqrt{7}$

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人でじゃんけんを行う．各人はグー，チョキ，パーをそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で出すものとし，毎回のじゃんけんの結果はそれぞれ独立に決まるものとする．次の問いに答えよ．

(1)　じゃんけんを$1$回行うとき，$1$人だけが勝つ確率を求めよ．

(2)　じゃんけんを$1$回行うとき，あいこになる確率を求めよ．

(3)　勝者が$1$人に決まるまでじゃんけんを繰り返し行うとき，$2$回目で勝者が決まる確率を求めよ．ただし，負けた人はその後のじゃんけんには加わらないものとする．

(4)　勝敗に関係なく$4$人でじゃんけんを$15$回続けて行うものとする．よって負けた人もじゃんけんから抜けることはない．ここで，$\mathrm{A}$はチョキを出さずに，グーを$5$回，パーを$\mathrm{10}$回出す．$\mathrm{A}$が$n$回目のじゃんけんで$4$回目のグーを出す確率を$p_n$とするとき，$p_n$が最大となる$n$の値を求めよ．