2017　広島大学　AO理学部物理科学科MathJax

【１】　以下の設問に答えよ．

問１　$x-1$を因数にもつ整式$P(x)=x^3-a{x}^2+bx-c$に関して，次の問いに答えよ．ただし$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．

(1)　$c$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$P(x)=0$を満たす解をすべて求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

問２　次の積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(x-\sin x)dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-ax}dx\text{（}a>0\text{）}$

【１】　以下の設問に答えよ．

問３　$x<1$で定義された関数$f(x)=-\log (1-x)-x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最小値とそのときの$x$を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

問４　整数$n$を正の整数$m$で割り，商と余りに分ける．商が$k$となるような$n$の総和を$m$の$2$次式として$\boxed{\text{ア}}{m}^2+\boxed{\text{イ}}m$と表すとき，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$に入る式もしくは数を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

問５　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,0)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(0,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(-1,\sqrt{3})$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のように表したとき，$s\text{，}t$を求めよ．