2017　香川大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，$m>0\text{，}n>0$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AM}$と$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AM}}}$を$m\text{，}n$を用いて表し，線分$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{ABC}$の重心を通らないことを示せ．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin 2\theta )$について，次の問に答えよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に一致するような$\theta$の値をすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が単位円周上にあるような$\theta$の値をすべて求めよ．

(3)　$t={\sin }^2\theta$とおくとき，${\mathrm{OP}}^2$を$t$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{OP}$の最大値を求めよ．

【３】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,-t^2)\text{，}\mathrm{M}(t,0)$をとる．ただし，$t>0$とする．$y$軸上に，$\mathrm{AM}\perp \mathrm{BM}$となるような点$\mathrm{B}$をとり，直線$\mathrm{AM}$上に，$\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$となるような，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$を中心とし，点$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた円上の点で，$y$座標が最小となるような点の座標を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$が$0<a<b\text{，}a<b^3$を満たすとき，曲線$C_1\text{：}y=a{x}^2\text{（}x\geqq 0\text{），}$曲線$C_2\text{：}y=b{x}^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C_1$と直線$x=b\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C_2$と直線$y=a\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1\text{，}{S}_2$をそれぞれ$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$S_1=S_2$となるとき，$a$を$b$を用いて表せ．

(3)　$x$座標が$b$である曲線$C_1$上の点を${\mathrm{P}}_1\text{，}y$座標が$a$である曲線$C_2$上の点を${\mathrm{P}}_2$とする．曲線$C_1$と$C_2\text{，}$および直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$で囲まれた部分の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2$となるとき，$S_3$を$b$を用いて表せ．

(4)　$S_1=S_2=S_3$となるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【５】　曲線$C\text{：}y=e^{-ax}$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　曲線$C$と$y$軸の交点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とし，$\mathrm{R}$を，$\mathrm{Q}$と$x$座標が等しい$C$上の点とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_1\text{，}$台形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S_2$とするとき，

$S_1<{\displaystyle \frac{1}{a}}(1-e^{-1})<S_2$

が成り立つことを示せ．

【２】　自然数の列を次のように群に分け，第$n$群には連続する$n$個の自然数が入るようにする．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{1}\left|\underset{\text{第}2\text{群}}{2\text{，}3}\right|\underset{\text{第}3\text{群}}{4\text{，}5\text{，}6}\left|\underset{\text{第}4\text{群}}{7\text{，}8\text{，}9\text{，}10}\right|11\text{，}\cdots$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　自然数$29$は第何群に入るか．

(2)　第$n$群に入る最小の自然数と最大の自然数を$n$を用いて表せ．

(3)　自然数$2017$は第何群に入るか．

【３】　次の等式$\text{a)}\text{，b)}\text{，c)}$がそれぞれ成立している．$\text{a)}\text{，b)}\text{，c)}$それぞれについて$y$を$x$を用いて表し，$x$がすべての実数値をとるときに$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

$\text{a)}$　${\log }_{2}y-2x+3=0$

$\text{b)}$　${\log }_{2}y+{\log }_2(x^2+1)-3=0$

$\text{c)}$　${\log }_{2}y-{\log }_4(x^2+1)-1=0$

【４】　曲線$C_1\text{：}y=\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$について，次の問に答えよ．

(1)　$2$曲線$C_1$と$C_2\text{，}$および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin xdx$と${\displaystyle \int }x\cos xdx$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^2\sin xdx$と${\displaystyle \int }{x}^2\cos xdx$を(2)を用いて求めよ．

(4)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　座標平面上の点$(x,y)$は，$x\text{，}y$がともに整数のとき，格子点という．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}(x^3+3x^2-x-2)$

について，次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフ上には格子点が存在しないことを示せ．

(2)　$n$が整数のとき，点$(n,f(n))$における$y=f(x)$の接線を$l$とする．直線$l$上には無限に多くの格子点が存在することを示せ．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，線分$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{CF}:\mathrm{FD}$を求めよ．

(2)　$4$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{E}$が同一円周上にあるとする．このとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$を求めよ．さらに，この円の中心が辺$\mathrm{BC}$上にあるとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}:\mathrm{BC}$を求めよ．