2017　熊本大学　前期MathJax

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$がある．ただし，$c>0$とする．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\cos \theta \text{，}\sin \theta$を$c$を用いて表せ．

(問２)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上の点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{HA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HC}}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$に垂直であるとき，$c$の値を求めよ．

(問３)　(問２)の条件のもとで，面積$S$を求めよ．

【２】　$n$は$5$以上の自然数とする．赤玉$3$個と白玉$7$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を確認してからもとに戻すという試行を$n$回行う．以下の問いに答えよ．

(問１)　$n$回目に$3$度目の赤玉が出る確率を求めよ．

(問２)　$2$度以上連続することなく$3$度赤玉が出る確率を求めよ．

(問３)　$n$回目に$3$度目の赤玉が出たとき，$2$度以上連続することなく$3$度赤玉が出ている条件付き確率を求めよ．

（編注）2022年札幌医科大学前期【３】で改変して活用

【３】　$f(x)=x^2+x$とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．

　$a_1=8$とする．$a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$に対して，座標平面上の曲線$y=f(x)$上の点$({a_n}^2,f({a_n}^2))$における接線と直線$y=x$との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．ただし，${a_n}^2$は$a_n$の$2$乗を表す．

以下の問いに答えよ．

(問１)　すべての自然数$n$に対し，$a_n>0$が成り立つことを示せ．

(問２)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(問３)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　$t$は$0$でない実数とする．座標平面上の曲線$C_1\text{：}y={(x-t)}^2+2t^3-t^2$と曲線$C_2\text{：}y=2x^3-x^2$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点が$2$個になるような$t$を求めよ．

(問２)　$t$を(問１)で求めた値とし，曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は，点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．このとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における曲線$C_2$の接線$l_{\mathrm{A}}\text{，}{l}_{\mathrm{B}}$と曲線$C_1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$がある．ただし，$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0$とする．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$\cos \theta \text{，}\sin \theta$を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(問２)　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上の点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{HA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{HC}}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$に垂直であるとき，

${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}+{\displaystyle \frac{1}{c^2}}=1$

が成り立つことを示せ．

(問３)　(問２)の条件のもとで，$a=3$としたとき，面積$S$の最小値とそのときの$b\text{，}c$の値を求めよ．

（編注）2021年名古屋市立大中期薬学部【２】で改変して活用

【２】　$s>0\text{，}t>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とする複素数平面において，$\alpha =2-i\text{，}\beta =s+ti$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．さらに，点$\mathrm{C}$を直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と反対側にとり，$▵\mathrm{OBC}$が正三角形になるようにする．点$\mathrm{C}$を表す複素数を$z$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$z$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(問２)　$\alpha \text{，}\beta$が等式$4{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta =0$を満たすとき，$\beta$と$z$をそれぞれ求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$\beta$と$z$に対して，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{CDB}=\theta$とする．このとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\log }_{2}x-x+1\text{（}x>0\text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$の極値を求めよ．

(問２)　方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．なお，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty$を用いてもよい．

(問３)　座標平面上の曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$f(x)=x^2+x$とし，$j$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を次のように定める．

　$a_1=2$とする．$a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$に対して，座標平面上の曲線$y=f(x)$上の点$({a_n}^j,f({a_n}^j))$における接線と直線$y=x$との交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．ただし，${a_n}^j$は$a_n$の$j$乗を表す．

以下の問いに答えよ．

(問１)　すべての自然数$n$に対し，$a_n>0$が成り立つことを示せ．

(問２)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(問３)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【１】　半径$1$の円に外接する$▵\mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{CAB}=2x\text{，}\angle \mathrm{ABC}=2y\text{，}\angle \mathrm{BCA}=2z$とする．$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$S={\displaystyle \frac{1}{\tan x}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan y}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan z}}$が成り立つことを示せ．

(問２)　$z={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$S$の最小値とそのときの$x\text{，}y$を求めよ．

【２】　$s>0\text{，}t>0$とする．複素数平面上の$\alpha =-i\text{，}\beta =2-2i\text{，}\gamma =s+ti$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．さらに，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{AC}$に関して点$\mathrm{B}$と反対側にとり，$▵\mathrm{ACD}$が正三角形になるようにする．点$\mathrm{D}$を表す複素数を$z$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$z$を$s\text{，}t$を用いて表せ．

(問２)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が等式$4{(\beta -\alpha )}^2+{(\gamma -\alpha )}^2-2(\beta -\alpha )(\gamma -\alpha )=0$を満たすとき，$\gamma$と$z$をそれぞれ求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$\gamma$と$z$に対して，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，$\angle \mathrm{DFC}=\theta$とする．このとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$とする．座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とし，点$\mathrm{P}(t,f(t))\text{（}t>0\text{）}$における曲線$C$の接線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　接線$l$と曲線$C$が点$\mathrm{P}$以外に共有点をもたないような$t$の最大値を求めよ．

(問２)　(問１)で求めた$t$の値を$a$とする．実数$k$に対し，直線$l_k\text{：}y=k(x-a)+f(a)$と曲線$C$の共有点の個数を求めよ．

(問３)　(問２)の直線$l_k$と曲線$C$の共有点が$2$個のとき，それら共有点の$x$座標のうち小さい方の値が${\displaystyle \frac{1}{3}}$となるような$k$を求め，そのときの曲線$C$と直線$l_k$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．$1$から$2n$までの自然数の順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{2n}$に対して，分数の和

${\displaystyle \frac{a_1}{a_{n+1}}}+{\displaystyle \frac{a_2}{a_{n+2}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{a_{2n}}}\cdots$(＊)

を考える．$1$から$2n$までの自然数のすべての順列に対して(＊)がとり得る値の最大値を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$S_2$を求めよ．

(問２)　$S_n$を与える順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{2n}$の例を$1$つ挙げ，その理由を述べよ．

(問３)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n\log n}}$を求めよ．