2017　宮城大学　後期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$y+z=yz\text{，}x+z=xz$のとき，$x=y$となることを示しなさい．

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問２　不等式$|3x-5|<2x$を満たす$x$の値の範囲を求めなさい．

【２】　$p$を定数とするとき，$2$次関数$f(x)=x^2+2px+2p^2-2p+1$について，次の問１，問２に答えなさい．

問１　$f(x)$の最小値が$2$以上であるとき，$p$の値の範囲を求めなさい．

問２　$0\leqq x\leqq 3$の範囲での$f(x)$の最小値が$9$であるとき，$p$の値が$-2$となることを示しなさい．

【３】　三角形$\mathrm{PAB}$について，その面積を$S$とし，三辺の長さの和を$6\text{，}\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AP}=a$とするとき，次の問１〜問３に答えなさい．

問１　$\cos A$を，$a$の式で表しなさい．

問２　$S$を$a$の式で表し，$a$の値の範囲を求めなさい．

問３　$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めなさい．

【４】　時計の時針と分針について，それぞれの先端を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は半径$1$の円$O$の円周上にあるとする．ただし，時針は$12$時間で，分針は$1$時間で，それぞれ右回りに一定の速度で$1$周するものとする．このとき，次の問１〜問３に答えなさい．

問１　時計が，$0$時を示してから$12$時を示すまでの間，時針，分針がそれぞれ角${\theta }_1\text{，}{\theta }_2+2n\pi$（ただし，$n$は整数）だけ回転しているとき，角${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$それぞれの変化を表すグラフをかきなさい．

問２　時針と分針が重なる周期を求めなさい．

問３　時針と分針がなす角のうち，小さい方の角を$\theta$とするとき，半径$\mathrm{OA}\text{，}$中心角$\theta$の扇形の面積の変化を表すグラフをかきなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

【５A】　海上を異なる方向にまっ直ぐ航行する$2$隻の船がある．海水面を$xy$平面として考えたとき，観測を始めたときの船$\mathrm{A}$の座標は$(100,100)\text{，}$船$\mathrm{B}$の座標は$(1000,300)\text{，}$それから$1$分後の船$\mathrm{A}$の座標は$(500,300)\text{，}$船$\mathrm{B}$の座標は$(700,400)$であり，それぞれ一定の方向，速度を保って航行している．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$2$隻の船の進行方向を示すベクトルがなす角$\theta$を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(2)　$2$隻の船の間の距離が最小となるのは，観測を始めてから何分何秒後かを求めなさい．

【５B】　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　確率変数$X$が，$P(X=x)=ax$という確率で与えられ，$X$が$5\text{，}10\text{，}15\text{，}20$の値をとるものとする．以下の(イ)，(ロ)，(ハ)に答えなさい．

(イ)　$a$の値を求めなさい．

(ロ)　期待値$E(X)$を求めなさい．

(ハ)　分散$V(X)$を求めなさい．

【５B】　次の(1)，(2)に答えなさい．

(2)　いま，飼育している多くの子豚から，標本として$10$頭を無作為に選んだ．それぞれの体重は$6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}10\text{，}11\text{，}12\text{，}14\text{，}15\text{，}18\text{（}\mathrm{kg}\text{）}$であった．このときの母平均$m$を信頼度$95\mathrm{\%}$で推定しなさい．また，$\sqrt{10}=3.1\text{，}\sqrt{13}=3.6$とし小数第$2$位以下を切り捨てなさい．

【６A】　$a={0.101}_{(2)}\text{，}b={0.02}_{(3)}$について，次の(1)，(2)に答えなさい．$x_{(n)}$は，$x$が$n$進数であることを表す．

(1)　$a\text{，}b$の値を，分数を用いて十進数で表しなさい．

(2)　$a+b$を，有限の小数を用いて$m$進数で表すとき，$m$の値を答えなさい．また，$m$進数で表した$a+b$の値を答えなさい．ただし，$m$は$1$桁の自然数とする．

【６B】　右の図はある四面体$V$の展開図である．三角形$\mathrm{ABE}$は正三角形，三角形$\mathrm{ACD}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{CD}$の二等辺三角形とし，$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CA}=10$とするとき，次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　四面体$V$の表面積を求めなさい．

(2)　四面体$V$の体積を求めなさい．