2017　会津大学　前期MathJax

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-x}\cos xdx=\boxed{\text{イ}}$

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}}dx=\boxed{\text{ロ}}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　$a\text{，}b$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+x+b=0$が$2-i$を解にもつとき，他の解をすべて求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　方程式${\log }_{2}3\cdot {\log }_{5}x=16{\log }_{5}2\cdot {\log }_{x}3$を解け．$\boxed{\text{ニ}}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(4)　$0\leqq x<\pi$のとき，方程式$\sin 2x+2\sin x=\cos x+1$を解け．$\boxed{\text{ホ}}$

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(5)　実数$a$が$2$進法で${101.01}_{(2)}\text{，}$実数$b$が$5$進法で${101.01}_{(5)}$と表されるとき，$a+b$を$10$進法の小数で表すと$\boxed{\text{ヘ}}$である．

【１】　(1)から(4)までの問いに答えよ．また，(5)，(6)の空欄をうめよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(6)　$\overrightarrow{a}=(1,1,2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,-1,-1)$とする．このとき，$|t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$は$t=\boxed{\text{ト}}$のとき，最小値$\boxed{\text{チ}}$をとる．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{BD}$を$5:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=l\overrightarrow{\mathrm{BC}}$となる実数$k\text{，}l$の値は$k=\boxed{\text{イ}}\text{，}l=\boxed{\text{ロ}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+p\overrightarrow{\mathrm{BP}}+q\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{0}$となる実数$p\text{，}q$の値は$p=\boxed{\text{ハ}}\text{，}q=\boxed{\text{ニ}}$である．

【３】　$2$つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．はじめに$\mathrm{A}$を投げて出た目を$a$とする．次に$\mathrm{B}$を$a$回投げて出た目の総和を$b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$b=2$である確率を求めよ．$\boxed{\text{イ}}$

(2)　$b=1$または$3\leqq b\leqq 36$である確率を求めよ．$\boxed{\text{ロ}}$

(3)　$b=3$である確率を求めよ．$\boxed{\text{ハ}}$

(4)　$a=3$であったときに，$b=6$である確率を求めよ．$\boxed{\text{ニ}}$

(5)　$b=3$であったときに，$a=3$である確率を求めよ．$\boxed{\text{ホ}}$

【４】　曲線$y=\log x$の点$\mathrm{A}(t,\log t)$における接線を$l\text{，}$法線を$m$とする．$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{B}\text{，}m$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の$y$座標を$t$で表すと$\boxed{\text{イ}}$であり，点$\mathrm{C}$の$y$座標を$t$で表すと$\boxed{\text{ロ}}$である．

(2)　線分$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となるようにとる．このとき$\mathrm{BD}$を$t$で表すと$\boxed{\text{ハ}}$であり，$\underset{t\to \infty }{\lim }\mathrm{BD}=\boxed{\text{ニ}}$である．

【５】　関数$f(x)=\log (x^2+1)$を考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．（結論に至る過程も記述すること）

(1)　$f(x)$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，$C$を座標平面上に描け．

(2)　$C$の$2$つの変曲点を通る直線と$C$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【６】　$a$を正の定数とする．次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，それを数学的帰納法を用いて証明せよ．