2017　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とし，座標空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(n,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,n,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,n)$を頂点とする三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}\mathrm{OABC}$を考える．また，座標空間内の$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$の部分に，$1$辺の長さが$1$の立方体を図のように$\stackrel{\text{すき}}{\text{隙}}\stackrel{\text{ま}}{\text{間}}$なく$n$段積み上げてできる立体を$\alpha$とする．図は$n=3$の場合のものである．次の問いに答えなさい．

(1)　$k$を$1\leqq k\leqq n$を満たす整数とする．立体$\alpha$の上から$k$段目にある立方体の個数を$k$を用いて表しなさい．

(2)　立体$\alpha$の体積$V$を$n$を用いて表しなさい．

(3)　立体$\alpha$の表面積$S$を$n$を用いて表しなさい．

(4)　三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を$V^{\prime }\text{，}$表面積を$S^{\prime }$とする．このとき，体積の比${\displaystyle \frac{V}{V^{\prime }}}$および表面積の比${\displaystyle \frac{S}{S^{\prime }}}$の$n\to \infty$としたときの極限値をそれぞれ求めなさい．

【２】　平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$がある．$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{FE}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{FG}$を$v:(1-v)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はいずれも平行六面体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の頂点ではないものとする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表しなさい．

(2)　直線$\mathrm{MQ}$と直線$\mathrm{NP}$が交わるとき，$s\text{，}t\text{，}u\text{，}v$の満たすべき関係式を求めなさい．

(3)　(2)における交点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{F}$は一直線上にあることを示しなさい．

【３】　$r$を$0<r<1$を満たす実数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　すべての$x\geqq 0$に対して，不等式

$x^{\frac{r}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{1+x^r}{2}}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1+x}{2}}\right)}^r$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　不等式

$1<{\displaystyle {\int }_1^e}{\left\{{\displaystyle \frac{1+{(\log t)}^r}{2}}\right\}}^{\frac{2}{r}}dt<{\displaystyle \frac{2e-1}{4}}$

が成り立つことを示しなさい．

【４】　$a$を正の定数とし，媒介変数表示$x=a(t^2-{\sin }^{2}t)\text{，}y=a{\sin }^{2}t\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$で表される曲線を$C$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$0<t\leqq 2\pi$とする．${\displaystyle \frac{dx}{dt}}>0$であることを示しなさい．また，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}>0$となる$t$の範囲を求めなさい．

(2)　曲線$C$の概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(3)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}t{\sin }^{2}tdt$の値を求めなさい．また，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めなさい．