2017　首都大学東京　後期MathJax

【１】　放物線$y=-x^2+2ax+2b$を$C$とする．放物線$y=x^2$と$C$によって囲まれた部分の面積が$9$となるような$2$つの実数の組$(a,b)$全体の集合を$X$とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$(3,0)$が$X$に属することを示しなさい．

(2)　$(a,b)$が$X$に属するとき，$b$を$a$の$2$次式として表しなさい．

(3)　$(a,b)$が$X$の要素全体を動くとき，点$(1,1)$と$C$の頂点を結ぶ線分の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めなさい．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OC}$の中点と辺$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．$0<t<1$となる$t$に対し，辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．また，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表す．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表しなさい．

(2)　座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$の頂点の座標がそれぞれ

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$

であるとき，四角形$\mathrm{PRQS}$の面積を$t$を用いて表しなさい．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$が(2)の場合に，四角形$\mathrm{PRQS}$の面積の最小値，およびそのときの$t$の値を求めなさい．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{2{(\log x)}^2-6\log x+3}{x^2}}\text{（}x>0\text{）}$

を考える．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値，およびそのときの$x$の値を求めなさい．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めなさい．ただし，必要であれば，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてもよいものとする．

(3)　$k$を実数とする．$y=2{(\log x)}^2-6\log x$のグラフと$y=k{x}^2-3$のグラフが異なる$3$点で交わるような$k$の値の範囲を求めなさい．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\text{，}y={\displaystyle \frac{8}{e^x+e^{-x}}}$をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とし，$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$-a$および$a$とする．ただし，$a>0$とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　$0<\alpha <\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とするとき，

$\tan ({\displaystyle {\int }_{\tan \alpha }^{\tan \beta }}{\displaystyle \frac{1}{t^2+1}}dt)={\displaystyle \frac{\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

が成り立つことを示しなさい．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．