2017　岐阜薬科大学　中期

【１】　${\mathrm{AB}}_1=8\text{，}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1=4\text{，}{\mathrm{C}}_1\mathrm{A}=6$の$▵{\mathrm{AB}}_1{\mathrm{C}}_1$において，内接円$O_1$の面積を$S_1$とする．辺${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$に平行で，内接円$O_1$に接する直線が辺${\mathrm{AB}}_1\text{，}$辺${\mathrm{AC}}_1$と交わる点を，それぞれ${\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2$とし，$▵{\mathrm{AB}}_2{\mathrm{C}}_2$の内接円$O_2$の面積を$S_2$とする．以下，同様な操作を繰り返して，$▵{\mathrm{AB}}_n{\mathrm{C}}_n$をつくり，その内接円$O_n$の面積を$S_n$とする．ただし，$n$は自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin A$および$\sin {\displaystyle \frac{A}{2}}$を求めよ．

(2)　内接円$O_1$の半径$r_1$を求めよ．

(3)　内接円$O_{n+1}$の半径$r_{n+1}$と内接円$O_n$の半径$r_n$の関係式を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

【２】　ジョーカーを除いた$1$組のトランプ$52$枚の中から，$\mathrm{A}$君が$3$枚のカードを同時に引いた．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$君がハートのエースを持っている確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$君が少なくとも$1$枚はエースを持っている確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$君が「ハートのエースを持っている」と言ったとき，さらに$1$枚以上エースを持っている確率を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$君が「少なくとも$1$枚はエースを持っている」と言ったとき，さらに$1$枚以上エースを持っている確率を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{1}{4}}<{0.5}^x<1$を解け．

(2)　(1)を満たす$x$の値の範囲のうち，${\log }_{x}y-{\log }_y{x}^{\frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす点$(x,y)$が存在する領域を図示せよ．

【４】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は，次の関係式を満たす$0$でない複素数とする．

$\{\begin{array}{l}\alpha =3+i\\ 2{\alpha }^2-2\alpha \beta +{\beta }^2=0\\ \gamma ={\displaystyle \frac{3\alpha -i\beta }{2-i}}\end{array}$

$4$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0\leqq \arg \beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の中心$\mathrm{I}$を表す複素数を求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心$\mathrm{D}$を表す複素数を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　等式${\displaystyle \frac{x^3}{{(x+1)}^2(x^2+3)}}={\displaystyle \frac{A}{x+1}}+{\displaystyle \frac{B}{{(x+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{Cx+D}{x^2+3}}$が成り立つように，定数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$の値を定めよ．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{x^3}{{(x+1)}^2(x^2+3)}}$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　曲線$y={\displaystyle \frac{x^3}{{(x+1)}^2(x^2+3)}}$と直線$x=1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．