2017　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=x^3+1$と直線$l_1\text{：}y=3x-1$が接する点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$以外の点$\mathrm{Q}$で$C$と接する直線を$l_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$l_1$の共有点で点$\mathrm{P}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．$l_1\text{，}{l}_2$および$C$のうち$\mathrm{Q}$から$\mathrm{R}$までの部分によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(4,0,2)\text{，}\mathrm{B}(2,3,3)\text{，}\mathrm{C}(5,3,0)$からなる三角形$\mathrm{ABC}$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線上の点を$\mathrm{D}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{D}$が$xy$平面上にあるとき，その座標を求めよ．

(3)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y,0)$が三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面上にあるとき，$x$と$y$の関係式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が(3)の条件を満たし，さらに，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線と$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線が直交するとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　自然数$n$に対し，$a_n=2^{n-1}\cos {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{3}}$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．また，$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　$S_6$を求めよ．

(2)　$S_{50}$を求めよ．

(3)　$\left|S_n\right|\geqq {10}^{50}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【４】　袋の中に何枚かの金貨と，何枚かの銀貨が入っており，これを金貨，銀貨の別を確認することなく，$1$枚ずつ取り出して，順に$1$列に並べていく．袋の中の硬貨をすべて取り出して並べ終えたとき，列の中には，金貨と銀貨いずれかのみ$1$枚以上からなる部分的な列ができている．これを「連（れん）」とよぶ．例えば，

金，金，金，銀，銀，金，金，銀，金

の列には，

（金，金，金），（銀，銀），（金，金），（銀），（金）

のように，$5$個の連がある．次の問いに答えよ．ただし，$0!=1$とする．

(1)　金貨が$6$枚，銀貨が$3$枚のとき，連の個数が$5$である確率を求めよ．

(2)　金貨と銀貨が$n$枚ずつ（$n\geqq 2$）のとき，連の個数が偶数$k$（$2\leqq k\leqq 2n$）である確率を$n$と$k$の式で表せ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(4,0,2)\text{，}\mathrm{B}(2,3,3)\text{，}\mathrm{C}(5,3,0)$からなる三角形$\mathrm{ABC}$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線上の点を$\mathrm{D}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}$が$xy$平面上にあるとき，その座標を求めよ．

(2)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y,0)$が三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面上にあるとき，$x$と$y$の関係式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が(3)の条件を満たし，さらに，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線と$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線が直交するとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　多項式

$Z=3p^4+4p^{3}q+2p^2{q}^2+4p{q}^3+3q^4$

を考える．ただし，$p\text{，}q$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p+q=a\text{，}pq=b$とするとき，$Z$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$Z=3^2\times {11}^2\times 19$となるときの自然数$p\text{，}q$の組をすべて求めよ．

【３】　$x>0$の範囲において，$f(x)={\displaystyle \frac{\log x^2}{x^2}}\text{，}g(x)=k{x}^2\text{（}k>0\text{）}$とおく．$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$が共有点を持ち，その共有点におけるそれぞれの接線が一致するとき，共有点の$x$座標を$p$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．なお，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x^2}{x^2}}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)　曲線$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(2)　$p$の値を求めよ．

(3)　直線$x=1$と$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【１】　線分$\mathrm{OA}\text{，}$線分$\mathrm{OB}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$の長さがそれぞれ$\sqrt{5}\text{，}\sqrt{8}\text{，}3$である四面体$\mathrm{OABC}$に対して，辺$\mathrm{AB}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする（$0<s<1\text{，}0<t<1$）．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{c}=0\text{，}\angle \mathrm{AOC}$が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$\angle \mathrm{OCP}$は鋭角であるとしてよい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$s\text{，}t$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小になるとき，$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．このとき線分$\mathrm{OC}$の長さを求めよ．

(3)　(2)の状況のもとで$s$を求め，三角形$\mathrm{OPC}$の面積を求めよ．

【２】　袋の中に何枚かの金貨と，何枚かの銀貨が入っており，これを金貨，銀貨の別を確認することなく，$1$枚ずつ取り出して，順に$1$列に並べていく．袋の中の硬貨をすべて取り出して並べ終えたとき，列の中には，金貨と銀貨いずれかのみ$1$枚以上からなる部分的な列ができている．これを「連（れん）」とよぶ．例えば，

金，金，金，銀，銀，金，金，銀，金

の列には，

（金，金，金），（銀，銀），（金，金），（銀），（金）

のように，$5$個の連がある．次の問いに答えよ．ただし，$0!=1$とする．

(1)　金貨が$6$枚，銀貨が$3$枚のとき，連の個数が$5$である確率を求めよ．

(2)　金貨と銀貨が$n$枚ずつ（$n\geqq 2$）のとき，連の個数が偶数$k$（$2\leqq k\leqq 2n$）である確率を$n$と$k$の式で表せ．

(3)　金貨と銀貨が$n$枚ずつ（$n\geqq 2$）のとき，連の個数が奇数$l$（$3\leqq l\leqq 2n-1$）である確率を$n$と$l$の式で表せ．

【４】　自然数$n$に対し，$a_n=2^{n-1}\cos {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{3}}$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．また，$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　$S_{50}$を求めよ．

(2)　$\left|S_n\right|\geqq {10}^{50}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．