2017　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　座標平面内に，放物線$C\text{：}y=x^2-2ax-3x^2\text{（}a>0\text{）}$がある．$C$と$x$軸との$2$つある共有点のうち，$x$座標が大きい方を$\mathrm{P}$とする．また，$C$と$y$軸との共有点を$\mathrm{Q}$とし，$C$の頂点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$を通り直線$\mathrm{PQ}$に直交する直線と$y$軸との共有点を$\mathrm{S}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{PQ}\text{，}$直線$\mathrm{RS}$を表す方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　三角形$▵\mathrm{PQR}$の面積を$a$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{PQR}$と$▵\mathrm{QRS}$の面積が等しくなるときの$a$の値を求めよ．

【２】　図のような四角形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が平行でなく．辺$\mathrm{DA}$と辺$\mathrm{BC}$も平行でないものとする．辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$のそれぞれの延長線の交点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{DA}$と辺$\mathrm{BC}$のそれぞれの延長線の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\overrightarrow{a}+l\stackrel{\Rightarrow }{b}$（$k\text{，}l$は実数）と表したとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k\ne 1$かつ$l\ne 1$を示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$k\text{，}l\text{，}\overrightarrow{a}$で表せ．

(3)　対角線$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{L}\text{，}$対角線$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{N}$とするとき，$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$は一直線上にあることを示せ．

【３】　点$\mathrm{Q}$が四面体$\mathrm{OABC}$の各頂点を$1$秒ごとに移動する．点$\mathrm{Q}$は原点$\mathrm{O}$から出発し，$n$秒後に$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に存在する事象をそれぞれ$O_n\text{，}{A}_n\text{，}{B}_n\text{，}{C}_n$とし，各事象の確率を$P(O_n)\text{，}P(A_n)\text{，}P(B_n)\text{，}P(C_n)$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$が存在する頂点から$1$秒後に他の$3$つの頂点のいずれか$1$つに移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　共通事象（積事象）$O_{n+1}\cap A_n$の確率$P(O_{n+1}\cap A_n)$を$P(A_n)$で表せ．

(2)　$P(O_{n+1})$を$P(A_n)\text{，}P(B_n)\text{，}P(C_n)$を用いて表せ．

(3)　$P(O_n)$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=-x^2+6x+2|x-3|-6$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=ax$が$4$点を共有するような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{3}{5}}x$で囲まれた部分の面積を求めよ．