2017　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　正二十面体$X$を考える．

(1)　$X$のそれぞれの面が正三角形であることを用いて，$X$の辺の数と頂点の数および$1$つの頂点にあつまる辺の数を求めよ．

　次に$X$の$1$辺の長さは$2$とし，$X$は球$Q$の表面に内接しているとする．$Q$の中心を$\mathrm{O}$とする．$X$上の$1$つの頂点$\mathrm{A}$とそのとなりにある頂点$\mathrm{B}$を$1$つとる．直線$\mathrm{OA}$上にある$\mathrm{A}$と異なる$X$の頂点を$\mathrm{C}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$上にある$\mathrm{B}$と異なる$X$の頂点を$\mathrm{D}$とおく．

(2)　頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は同一平面上にあり，四角形$\mathrm{ABCD}$は長方形であることを証明せよ．

(3)　線分$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．

(4)　$Q$の表面積を求めよ．

(5)　$X$の体積を求めよ．

(6)　$X$の$1$つの辺を共有する$2$つの面に$\mathrm{O}$から下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{OH}\text{，}\mathrm{OK}$とする．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$の内積を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-\sqrt{x}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．

(1)　増減と凹凸を調べて，関数$f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$xy$平面上において曲線$y=f(x)$と直線$y={\displaystyle \frac{x}{e^2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$xyz$空間において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．$a$を正の実数とし，点$\mathrm{A}(1,0,0)$と点$\mathrm{P}(0,a,0)$を通り$z$軸に平行な平面を$H$とする．$H$と$zx$平面のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．$H$と$S$の交わりである円を$C$とおく．

(1)　$a$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$C$の中心の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$H$上の$C$で囲まれた部分を底面とし，原点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐の体積を$V$とする．$V$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$0<a<1$である実数$a$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=4a_n(1-a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について，$0\leqq a_n\leqq 1$であることを証明せよ．

(3)　$0<a_k<{\displaystyle \frac{1}{4}}$をみたす自然数$k$について，$a_{k+1}>3a_k$であることを証明せよ．

(4)　$a_m\geqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$をみたす自然数$m$が存在することを証明せよ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$であるとき，$a_N=0$となる自然数$N$が存在することを証明せよ．