2017　奈良県立医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　放物線：$y=\alpha x^2+\beta x+\gamma$上に異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標を$b$とする．ただし，$b>a$で$\alpha >0$とする．

(1)　上記の放物線上の点$\mathrm{C}$での接線の傾きが直線$\mathrm{AB}$の傾きと等しいならば，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【２】　以下の問いに答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　関数

$\log (x^3+x-16)-\log (2x-7)$

の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．ただし，答のみ記入すればよい．

　$n$は正の整数とする．$S_n$を有限和

$S_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{6^{2i}+6^i{6}^j}}\right)={\displaystyle \sum _{j=1}^n}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{6^{2i}+6^i{6}^j}}\right)$

で定める．このとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．ただし，(ア)には適切な数を$2$個入れよ．

直線$l\text{：}y=x$，

曲線$C\text{：}y=2\sqrt{x}-x\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．

(1)　直線$l$と曲線$C$は$2$点で交わり，それら交点の$x$座標は$\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　媒介変数$t$を用いて直線$l$上の点を$(t,t)$で表す．このとき，点$(t,t)$を通り直線$l$と直交する直線$m$は，

直線$m\text{：}y=\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$

と表せ，$x\geqq 0$のとき直線$m$と曲線$C$の交点は$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．

(3)　直線$l$と曲線$C$で囲まれる部分を，直線$l$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【５】　以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．

　$4$人のプレイヤーによるトーナメントを行う．プレイヤー$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は自分の名前の書かれた玉をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$個持っている．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正の整数である．トーナメントは次のようにして行う．

試合は次のルールに従って行う．

(1)　$\mathrm{A}$が予選で$\mathrm{B}$と対戦する場合，$\mathrm{A}$がトーナメントで優勝する確率は

${\displaystyle \frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}}(a+\boxed{\text{ア}})$

である．同様に，$\mathrm{A}$が予選で$\mathrm{C}$と対戦する場合や，$\mathrm{D}$と対戦する場合に$\mathrm{A}$がトーナメントで優勝する確率も求まる．

(2)　次に，予選での$\mathrm{A}$の対戦相手を次のように決めることとする．$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の持つ玉すべてを$1$つの袋に入れてよくかきまぜた後，袋から玉を$1$つ取り出す．袋から取り出した玉に名前が書かれたプレイヤーと$\mathrm{A}$が予選で対戦する．なお対戦相手決定後は，対戦相手決定のために使った玉を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$それぞれに返却する．予選で$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$と対戦する確率は$\boxed{\text{イ}}$である．同様に，予選で$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$と対戦する確率や，$\mathrm{D}$と対戦する確率も求まる．よって，$\mathrm{A}$がこのトーナメントで優勝する確率は

${\displaystyle \frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}}(a+\boxed{\text{ウ}}({\displaystyle \frac{1}{b+c}}+{\displaystyle \frac{1}{c+d}}+{\displaystyle \frac{1}{d+b}}\left)\right)$

である．

【６】　以下の問いに答えよ．ただし，答だけでなく途中経過も記述せよ．

　$xy$平面の右半平面（$x>0$）で，自然対数関数$y=\log x$のグラフを考える．このグラフ上に相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり，それぞれの点を通る法線をひき，その交点を$\mathrm{R}$で表す．点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に依存して決まる．以下の問いに答えよ．

(1)　最初は点$\mathrm{P}$を固定したまま，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{P}$に近づける．つまり，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}(x_1,\log x_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,\log x_2)$で表したとき，$x_2\to x_1$とする．このとき交点$\mathrm{R}$はある点$\mathrm{S}$に近く．点$\mathrm{S}$の座標を$(X,Y)$とおくとき，$X\text{，}Y$を$x_1$を用いて表示せよ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{P}$のみに依存している．次に点$\mathrm{P}$がグラフ上を動くとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{S}$との距離が最短となるような点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．