2017　和歌山県立医科大学　前期MathJax

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2017　和歌山県立医科大学　前期

易□　並□　難□

【１】(1)　実数を係数とする $3$ 次の整式 $P (x)$ があり， $P (x)$ は $2$ 次式 $x^{2} + a x + b$ で割り切れるとする．また方程式 $P (x) = 0$ は異なる $3$ つの解を持ち，それらの絶対値は等しいとする．このとき， $a ， b$ が満たすべき条件を求め，さらに $a ， b$ を用いて $P (x)$ を表せ．ただし， $a ， b$ は実数であるとし，また $P (x)$ の $3$ 次の係数は $1$ とする．

(2)　実数を係数とする $4$ 次方程式 $Q (x) = 0$ は異なる $4$ つの解を持ち，それらは複素数平面において同一円周上にあるとする．解の $2$ つが $- 3 ， 5 + 4 i$ であるとき，他の $2$ つの解を求めよ．ただし， $i$ は虚数単位である．

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【２】　 $O$ を原点とする座標空間において，中心が点 $(1, 0, 0)$ で半径が $1$ の球面を $S$ とし， $S$ が $x y$ 平面と交わってできる円を $C$ とする．点 $P$ はこの $C$ 上を動くものとし， $x$ 軸に関して $P$ と対称な点を $P^{'}$ とする．三角形 ${OPP}^{'}$ の重心 $G$ を通り $x$ 軸と平行な直線が $S$ と交わる $2$ 点のうち， $z$ 座標が正のものを $Q$ とする．四面体 ${OPP}^{'} Q$ の体積 $V$ の最大値とそのときの $P$ の座標を求めよ．

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【３】　 $a ， b ， p$ は自然数であるとする．さらに $p$ は素数であり，ある整数 $n$ で $p = a n^{2} + b n + 6$ と表されているとする．また $2$ 次方程式 $a x^{2} + b x + 6 = 0$ は整数の解を少なくとも $1$ つ持ち，かつ絶対値が $1$ より小さな解は持たないとする．このときの自然数の組 $(a, b, p)$ をすべて求めよ．

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【４】　 $O$ を原点とする座標平面に $2$ 点 $P (- 1 + \cos t, \sin t) ， Q (1 + \cos 3 t, \sin 3 t)$ がある．ただし， $0 ≦ t ≦ π$ とする．

(1)　 $3$ 点 $O ， P ， Q$ が一直線上にあるような $t$ をすべて求めよ．

(2)　 $3$ 点 $O ， P ， Q$ が一直線上にないとき， $\cos t$ を用いて $\sin ∠ POQ$ を表せ．

(3)　(2)と同じ条件の下で， $\sin ∠ POQ$ を $t$ の関数として考えたときのグラフをかけ．

(4)　 $3$ 点 $O ， P ， Q$ が一直線上になく，さらに線分 $OP$ と線分 $PQ$ の長さが等しくなるときの三角形 $OPQ$ の面積を求めよ．ただし，そのときの $t$ は求めなくてよい．