2017　岡山県立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次の関係を満たしている．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=1& \\ b_1=2& \\ a_{n+1}=4a_n-2b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=a_n+b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす$\alpha \text{，}\beta$を求めよ．

(2)　(1)を使って$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．

【２】　辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$上の点$\mathrm{Q}$について，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\angle \mathrm{ARQ}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとする．三角形$\mathrm{ARQ}$の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{BRP}$の面積を$S_2\text{，}$線分$\mathrm{BP}$の長さを$a$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{PAB}+\angle \mathrm{QBA}$の大きさを求めよ．また，線分$\mathrm{AQ}$の長さが${\displaystyle \frac{1-a}{1+a}}$に等しいことを示せ．

(2)　$S_1$と$S_2$を$a$で表せ．

(3)　$\sqrt{S_1{S}_2}$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\log ({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin x)\text{（}0<x<\pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフを図示せよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の$y\geqq 0$である部分の長さを求めよ．

【４】　正八面体の各面に$0$から$7$の数が$1$つずつ書かれている．この正八面体$3$個を同時に投げ，出た数の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．

(1)　$M-m=0$となる確率を求めよ．

(2)　$M-m=1$となる確率を求めよ．

(3)　$M-m>1$となる確率を求めよ．

(4)　$M+m=10$となる確率を求めよ．

(5)　$M=m$であったとき，$Mm\geqq 2(M+m)$となる条件付き確率を求めよ．