2017　県立広島大学　前期MathJax

【１】　正四面体$\mathrm{ABCD}$のすべての頂点は，座標空間の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の球面上にある．点$\mathrm{A}$は$z$軸上にあり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,-2,4)$であり，点$\mathrm{C}$の$x$座標は点$\mathrm{D}$の$x$座標より大きい．次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{C}$の$z$座標を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【２】　正の整数の数列$\{a_n\}$が次の不等式を満たす．

$n{a_{n+1}}^2+(n+2){a_n}^2<2(n+1)a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$a_2=2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　$a_3$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を推測して，それを数学的帰納法を用いて証明せよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{2}3$は無理数であることを証明せよ．

(2)　$3^q=2^r$を満たす有理数$q\text{，}r$を求めよ．

(3)　$9^x{8}^{y-1}={(1.5)}^{2y+1}{(0.5)}^x$を満たす有理数$x\text{，}y$を求めよ．

【４】　$a$を実数とし，$0<a\leqq 1$とする．直線$l$を$y=ax\text{，}$放物線$C$を$y={(x-2a)}^2$とする．$l$と$C$で囲まれた図形$A$の面積を$S(a)$とし，図形$A$で$x\leqq 1$を満たす部分の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$と$C$の交点の座標を求めよ．

(2)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$T(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　$T(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．