2017　県立広島大学　後期MathJax

【１】　三角形があり，その頂点を反時計回りの順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．頂点を移動する点$\mathrm{P}$がある．表と裏の出現確率が等しいコインを$2$枚投げる試行をし，その結果により$\mathrm{P}$は次のように移動する．

$2$枚とも表ならば，時計回りに隣の頂点に移動する．

$2$枚とも裏ならば，反時計回りに隣の頂点に移動する．

それら以外では，移動しない．

点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{A}$から出発する．$n$回試行したときに$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にいる確率を$p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．例えば，$[2]=2\text{，}[4.9]=4\text{，}[\sqrt{2}]=1\text{，}[\pi ]=3$である．数列$\{a_n\}$は，

$a_n=[{\log }_{10}n]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義される．次の問いに答えよ．

(1)　$a_9\text{，}{a}_{99}\text{，}{a}_{999}$を求めよ．

(2)　$k$は$0$以上の整数とする．$a_n=k$となる$n$の範囲を$k$を用いて表せ．

(3)　$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_N\text{，}N={10}^n-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．例えば，$S_1=a_1+a_2+\cdots +a_9$である．

$S_n=(n-{\displaystyle \frac{10}{9}}){10}^n+{\displaystyle \frac{10}{9}}$

となることを証明せよ．

【３】　$\theta$を実数とし，

$f(\theta )={\log }_3(3\sin \theta -1)+{\log }_3(27\cos 2\theta -11)-{\log }_{3}16-3$

とする．また，$x=\sin \theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$y=3^{f(\theta )}$を$x$の整式で表せ．

(3)　$f(\theta )$を最大にする$x$の値を求めよ．

【４】　$a$を実数とし，直線$l$を$y=ax\text{，}$曲線$C$を$y=x^2-4\left|x\right|+2x$とする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$のグラフをかけ．

(2)　直線$l$と曲線$C$が異なる$3$点で交わる$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，直線$l$と曲線$C$によって囲まれた二つの図形のうち，$x\leqq 0$の部分の面積を$A\text{，}x\geqq 0$の部分の面積を$B$とする．$S(a)=A+9B$を$a$を用いて表せ．

(4)　$S(a)$の最小値を求めよ．