2017　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　次の関数の導関数を求めよ．

$y=\cos (\log (1+\sqrt{x}))$

【１】

問２　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}x\cos 3xdx$

【１】

問３　曲線$y=3^{-5x}$上の点$(0,1)$における接線の方程式を求めよ．

【２】

問１　$\alpha \text{，}\beta$は$0$でない複素数で，等式${\alpha }^2+\sqrt{2}\alpha \beta +{\beta }^2=0$を満たすとする．

(1)　${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$-\pi <\theta \leqq \pi$とする．

(2)　複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}$および原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形を考える．$\angle \mathrm{AOB}\text{，}\angle \mathrm{OBA}\text{，}\angle \mathrm{BAO}$の大きさをそれぞれ求めよ．

【２】

問２　実数$a\text{，}b$に対し，次の命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を考える．

命題$\mathrm{A}$：$a\geqq 0$かつ$ab\geqq 0$ならば，$b\geqq 0$である．

命題$\mathrm{B}$：$a+b\geqq 0$かつ$ab\geqq 0$まらば，$b\geqq 0$である．

(1)　命題$\mathrm{A}$が真であれば証明せよ．偽であれば反例を$1$つあげ，それが反例であることを示せ．

(2)　命題$\mathrm{B}$が真であれば証明せよ．偽であれば反例を$1$つあげ，それが反例であることを示せ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e^x+16e^{-x}+10}}}$とおく．

問１　$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

問２　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

問３　曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，$y$軸および直線$x=4\log 2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　$t$を実数とし，$1$辺の長さが$1$である正三角形$\mathrm{OAB}$において，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすようにとる．また，三角形$\mathrm{OPQ}$の重心を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$t=0$のときは，$\mathrm{G}$は$\mathrm{O}$に一致するものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{AGR}$は$t$の値によらず直角三角形になることを示せ．

問４　三角形$\mathrm{AGR}$の面積を$t$を用いて表せ．