2017　九州歯科大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$を$a_1={\displaystyle \frac{5}{13}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{7}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)$\text{①}$　関数$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}-x$の増減を調べ，極値を求めよ．

$\text{②}$　数列$\{b_n\}$を$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{b_n}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，次の(A)，(B)のうち，正しいものを選べ．（(A)または(B)のみを解答せよ．）

(A)　$b_1\leqq b_2\leqq b_3\leqq \cdots \leqq b_n\leqq b_{n+1}\leqq \cdots$

(B)　$b_1>b_2>b_3>\cdots >b_n>b_{n+1}>\cdots$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　表の出る確率が$q\text{，}$裏の出る確率が$1-q$である硬貨を投げ，表が出たら赤玉を$1$個もらえ，裏が出たら白玉を$1$個もらえる．ただし，$0<q<1$とする．この操作を繰り返して，手元に赤玉または白玉のどちらかが先に$3$個になった時点で，この操作を終了する．操作終了時点で，手元にある同じ色の$3$個の玉とは異なる色の玉の数が$0$個，$1$個，$2$個となる確率を，それぞれ$P_0(q)\text{，}{P}_1(q)\text{，}{P}_2(q)$とする．$P_0(q)\text{，}{P}_1(q)\text{，}{P}_2(q)$を$q$で表せ．

【２】　実数値をとる$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$が次の条件を満たすとする．

(A)　すべての実数$x\text{，}y$に対して，$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)$

(B)　すべての実数$x$に対して，$f(x)=-f(-x)\text{，}g(x)=g(-x)$

(C)　$g(0)=1$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${(f(x))}^2+{(g(x))}^2$の値を求めよ．

(2)　$g(x_0)=0$かつ$0\leqq x<x_0$の範囲で$g(x)>0$となる正の実数$x_0$が存在するとき，$g\left({\displaystyle \frac{x_0}{2}}\right)$の値を求めよ．

【３】　$-{\displaystyle \frac{3}{8}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}$で定義された関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{3-\sqrt{8x+3}}{8}}\sqrt{2\sqrt{8x+3}-8x}$

で定める．曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=-{\displaystyle \frac{3}{8}}\text{，}x={\displaystyle \frac{3}{4}}$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$と$f(-{\displaystyle \frac{3}{8}})$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }}{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos 4\theta )d\theta$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$の範囲で関数

$g(\theta )={\displaystyle \frac{{(2\cos \theta +1)}^2-3}{8}}$

を考える．$g$と$f$の合成関数$f(g(\theta ))$と$g(\theta )$の$\theta$に関する微分$g^{\prime }(\theta )$の積$f(g(\theta ))g^{\prime }(\theta )$が

$f(g(\theta ))g^{\prime }(\theta )={\displaystyle \frac{1}{8}}{(\sin 2\theta )}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{(\sin \theta )}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}{(\sin \theta )}^2(\cos \theta )$

となることおよび(2)の値を利用して，面積$S$を求めよ．