2017　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=2$と$a_{n+1}=2a_n+(n+1)2^{n+1}$を満たすものとし，数列$\{b_n\}$は，$b_n=n\cdot 2^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で与えられているとする．以下の問題に答えよ．

(1)　$a_2$と$a_3$を求めよ．

(2)　$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{2^{n-1}}}$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項$c_n$を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(5)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$T_n$を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$と直線$l_1\text{：}y=-x+{\displaystyle \frac{t^2-1}{2}}$を考える．ただし，$t$は$t>1$を満たす定数である．放物線$C$と直線$l_1$の$2$つの交点を${\mathrm{A}}_1({\alpha }_1,{\beta }_1)\text{，}{\mathrm{A}}_2({\alpha }_2,{\beta }_2)$とおく．ただし，${\alpha }_1<{\alpha }_2$とする．また，直線$l_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とおく．さらに，点$\mathrm{B}$を通り直線$l_1$と直交する直線を$l_2$とし，放物線$C$と直線$l_2$の交点で第$2$象限にあるものを${\mathrm{A}}_3({\alpha }_3,{\beta }_3)$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)　直線$l_2$の式を$t$を用いて表せ．

(2)　${\alpha }_1$と${\alpha }_2$を$t$を用いて表せ．

(3)　放物線$C$と直線$l_1$で囲まれる図形の面積を$S$とする．面積$S$を$t$を用いて表せ．

(4)　放物線$C$と線分${\mathrm{A}}_1\mathrm{B}$と線分${\mathrm{A}}_3\mathrm{B}$で囲まれる図形の面積を$T$とする．面積$T$を$t$を用いて表せ．

(5)　$S-2T$を最小にする$t$の値を求めよ．

【３】　座標平面上の$3$点を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$とする．線分$\mathrm{OA}$を直径とする円を$C_1\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を直径とする円を$C_2$とする．円$C_1$上で第$1$象限にある点$\mathrm{P}$をとり，円$C_2$上で第$4$象限にある点$\mathrm{Q}$をとる．$\angle \mathrm{OPA}$の大きさを$\alpha \text{，}\angle \mathrm{QOA}$の大きさを$\beta$とおく．以下の問題に答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AQ}$が点$\mathrm{Q}$で円$C_2$と接するとき，線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OBQ}$と$▵\mathrm{OAP}$の面積比が$1:4$のとき，$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　円$C_1$の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．接線$l$と直線$\mathrm{OQ}$が平行のとき，$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．

(4)　$\alpha =\beta$を満たすとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さが最大となるとき，その長さを求めよ．

【４】　同じ形の白玉と赤玉が入った箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，玉の色を確認して箱に戻し，さらに同じ形の白玉$1$個を箱に入れる作業を試行$\mathrm{A}$とする．試行$\mathrm{A}$で，取り出した玉の色が白ならば試行$\mathrm{A}$を継続し，取り出した玉の色が赤ならば試行$\mathrm{A}$を停止する．最初は箱に同じ形の白玉と赤玉が各$1$個入っているとする．試行$\mathrm{A}$を$n$回目まで継続しているとき，$n+1$回目も試行$\mathrm{A}$を行う確率を$p_n(n+1)$と表す．また，$n$回目に試行$\mathrm{A}$が停止する確率を$q(n)$と表す．ただし，$n$は自然数である．以下の問題に答えよ．

(1)　確率$p_1(2)\text{，}{p}_2(3)$を求めよ．

(2)　確率$p_n(n+1)$を$n$を用いて表せ．

(3)　確率$q(3)$を求めよ．

(4)　確率$q(n)$を$n$を用いて表せ．

(5)　$n$回目までに試行$\mathrm{A}$が停止した場合に，$k$回目以上試行$\mathrm{A}$が継続していた確率を$n$と$k$を用いて表せ．ただし，$k$は$k<n$を満たす自然数である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　循環小数である$0.\stackrel{\cdot }{5}\stackrel{\cdot }{4}$を分数で表すと$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　不等式$3x^2+2\left|x\right|\leqq 1$の解は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$3$辺の長さが$5\text{，}7\text{，}8$の三角形の面積は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　$A\times B\times C=990$となる自然数$A\text{，}B\text{，}C$の組み合わせは$\boxed{\text{エ}}$通りである．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　当たりくじ$3$本を含む$12$本のくじがある．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がこの順番に引く場合，少なくとも$1$人が当たりくじを引く確率は$\boxed{\text{オ}}$である．また，$\mathrm{B}$のみが当たりくじを引く確率は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，引いたくじはもとに戻さない．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$x>0$のとき，${\log }_2{(x+1)}^2>2$と$\sqrt{2^x}>2^{2x-3}$を同時に満たす$x$の範囲は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　直線$3x-y+5=0$に関して点$\mathrm{A}(5,0)$と対称な点$\mathrm{B}$の座標は$\boxed{\text{シ}}$であり，点$\mathrm{B}$を中心とし，円${(x+4)}^2+y^2=25$と接する円の方程式は$\boxed{\text{ス}}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$3$次方程式$x^3-3x^2+8x-6=0$の解は，$x=\boxed{\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　関数$y={\cos }^{2}x-2\sin x\cos x-{\sin }^{2}x$の周期は$\boxed{\text{チ}}$である．また，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y=-1$となるときの$x$の値は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n+6n^2+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$\boxed{\text{テ}}$である．

【３】　媒介変数$\theta$で表された曲線$C\text{：}x=\theta -\sin \theta \text{，}y=1-\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$について，以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　曲線$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

問２　$\theta ={\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$に対応する曲線$C$上の点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

問３　曲線$C(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi )$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$上の動点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{（}{x}_1>0\text{，}{y}_1>0\text{）}$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．これについて，以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　(1)，(2)の手順で点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$における接線の傾きを$m$とするとき，$m$は

$m=-{\displaystyle \frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}}$

であることを示せ．

(2)　(1)の$m$を用いて，接線の方程式を求めよ．

問２　$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$を$a\text{，}b\text{，}{x}_1\text{，}{y}_1$を用いて表せ．

問３　問２で表した面積$S$の最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．