2017　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　$a^2<1^0<a^{-1}<7^{{\log }_{49}9}$を満たす実数$a$の値の範囲を求めなさい．

【２】　$2m^2+5mn+3n^2=3$を満たす整数$m\text{，}n$の値の組をすべて求めなさい．

【３】　$3$次方程式$x^3=2-x$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3=6$となることを示しなさい．

【４】　$2$つの野球チーム，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$5$回戦制の優勝決定戦を行うことになった．各対戦の結果は，$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$が勝つか，引き分けるかのいずれかである．より多く勝利したチームが優勝となる．ただし，$5$回戦が終了した時点で，両者の勝利数が等しい場合（$0$勝$0$敗$5$引き分けも含む），両者優勝となる．優勝チームが確定した時点で，対戦回数が$5$回に満たなくても対戦は終了する．各対戦で$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}$引き分ける確率は${\displaystyle \frac{1}{5}}$であるとする．以下の問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$が$3$勝$0$敗$0$引き分けで優勝する確率$p_1$を求めなさい．

(2)　$3$回戦を終えて，$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗$0$引き分けとなる場合の勝敗の並び方は何通りあるかを求めなさい．

(3)　$3$回戦を終えて，$\mathrm{A}$が$2$勝$1$敗$0$引き分けとなる確率$p_2$を求めなさい．

(4)　$\mathrm{A}$が$3$勝$1$敗$0$引き分けで優勝する確率$p_3$を求めなさい．

(5)　$\mathrm{A}$が引き分けなしで優勝する確率$p_4$を求めなさい．

(6)　$2$勝$2$敗$1$引き分けで，両者優勝となる場合の勝敗および引き分けの並び方は何通りあるかを求めなさい．

(7)　$2$勝$2$敗$1$引き分けで，両者優勝となる確率$p_5$を求めなさい．

(8)　両者優勝となる確率$p_6$を求めなさい．

(9)　以上の結果を用いて，各対戦のいずれかに引き分けを含んで，かつ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のいずれかが優勝する確率$p_7$を求めなさい．

【５】　整数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$はすべての自然数$n$に対して

${(2+\sqrt{3})}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$

が成り立つとする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　$a_1\text{，}{b}_1$の値を求めなさい．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表しなさい．また，$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表しなさい．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}+p{b}_{n+1}=q(a_n+p{b}_n)$が成り立つような定数の組$(p,q)$を$2$組求めなさい．

(4)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$を用いて表しなさい．

【６】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{3}$の円$C_1$

$x^2+y^2=3$

がある．円$C_1$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$における接線を$l$とし，接線$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．また，円$C_1$と$x$軸との$2$つの交点のうち$x$座標が正となる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{S}$を通る放物線$C_2$の方程式を求めなさい．

(3)　扇型$\mathrm{POS}$の面積を求めなさい．

(4)　図を参考にして，$\angle \mathrm{POS}$の内部にある弧$\mathrm{PS}$と放物線$C_2$で囲まれた斜線部分の面積を求めなさい．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{F}(1,2)$からの距離と直線$y=-1$からの距離の比が$2:1$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，その概形を描きなさい．

【３】　$i$を虚数単位とするとき，

${\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{1-i}}\right)}^8=a+bi$

を満たす，実数$a\text{，}b$の値を求めなさい．

【６】　$3$つの関数

$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\text{，}{g}_1(x)=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\text{，}{g}_2(x)={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

について，以下の問に答えなさい．なお，$0.60<e^{-\frac{1}{2}}<0.61$を用いてもよい．

(1)　関数$f(x)$の増減表を作成し，$y=f(x)$のグラフの概形を描きなさい．なお，グラフの凹凸も調べなさい．

(2)　$h_1(x)=f(x)-g_1(x)$とおくとき，$0\leqq x\leqq 1$において，$h_1(x)\geqq 0$であることを示しなさい．

(3)　$h_1(x)=f(x)-g_2(x)$とおくとき，$0\leqq x\leqq 1$において，$h_2(x)<0$であることを示しなさい．

(4)　以上の結果を用いて，

${\displaystyle \frac{5}{6}}<{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}dx<{\displaystyle \frac{7}{6}}$

であることを示しなさい．