2017　自治医科大　医学科MathJax

2017-12951-0101

2017　自治医科大　医学科

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【１】　 $2$ つの整式 $A = x^{3} - 2 a^{2} x + 4 a^{3} ，$ $B = x + 2 a$ を $x$ についての整式とみて， $A$ を $B$ で割った余りを求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【２】　 $x = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} ，$ $y = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ であるとき， $\frac{x^{3} + y^{3}}{x + y}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【３】　方程式 $\log_{3} (9 x) - 6 \log_{x} 9 = 3$ のすべての実数解の積の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【４】　方程式 ${(\log_{2} x)}^{2} \cdot \log_{2} (8 x^{2}) = α$ は，すべて異なる $3$ つの実数解 $\frac{β}{γ} ，$ $β ，$ $β γ$ $（ γ \neq 0 ）$ をもつものとする． $2 α$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【５】　方程式 $2 \cos^{2} θ + 3 \sin θ = k$ $（ 0 ≦ θ ≦ π ）$ が，異なる $2$ つの実数解をもつための $k$ のとりうる範囲は， $a ≦ k < b$ となる． $16 (b - a)$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【６】　複素数 $Z = \frac{{(1 + i)}^{3} {(\sqrt{3} - i)}^{2}}{{(\sqrt{3} - 3 i)}^{2}}$ について考える． $Z^{2 n}$ が実数となるときの自然数 $n$ の最小値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【７】　 $A = \frac{1}{1 - α} + \frac{1}{1 - α^{2}}$ $+ \frac{1}{1 - α^{3}} + \frac{1}{1 - α^{4}}$ $+ \frac{1}{1 - α^{5}} + \frac{1}{1 - α^{6}}$ とする． $α = \cos \frac{2 π}{7} + i \sin \frac{2 π}{7}$ であるとき， $A$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【８】　 $2$ つの方程式 $A ： x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ と $B ： x^{2} - b x + 3 = 0$ $（ a ，$ $b ，$ $c$ は実数）について考える．方程式 $A$ は， $1 + i$ を $1$ つの解にもつとする．方程式 $A$ と $B$ がただ $1$ つの解を共有するとき， $\frac{| a b c |}{4}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【９】　方程式 $x^{3} + a x^{2} + b x - 8 = 0$ $（ a ，$ $b$ は実数とする）は， $x = 1 ，$ $x = 2$ を解としてもつ． $| \frac{a}{b} |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【10】　点 $A$ $(3, 2)$ と円 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 1 = 0$ 上の点 $Q$ について考える．線分 $AQ$ の中点を $P$ とする．点 $P$ の軌跡によって囲まれる領域の面積を $S$ とする． $\frac{7 S}{π}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【11】　 $3$ つの直線 $x - y + 2 = 0 ，$ $x + y - 12 = 0 ，$ $7 x - y - 4 = 0$ で囲まれた三角形に内接する円の面積を $S$ とする． $\frac{4 S}{π}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【12】　原点 $O$ $(0, 0, 0) ，$ 点 $A$ $(- 3, 2, 1) ，$ 点 $B$ $(2, - 1, - 1) ，$ 点 $C$ $(1, 1, 0)$ によって作られる四面体 $OABC$ の体積を $V$ としたとき， $9 V$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【13】　大きさがともに $1$ である $2$ つのベクトル $\vec{a}$ および $\vec{b}$ は， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ を満たす． $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = k$ としたとき， $k^{2}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【14】　原点 $O$ $(0, 0, 0)$ を中心とする半径 $1$ の球面上に存在するすべて異なる $3$ つの点 $A ，$ $B ，$ $C$ について， $3 \vec{OA} + 4 \vec{OB} - 5 \vec{OC} = \vec{0}$ が成立する． $▵ABC$ の面積を $S$ としたとき， $10 S$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【15】　自然数 $360$ は $2$ つの自然数 $a$ と $b$ の積で表すことができる． $a ，$ $b$ が互いに素であるとすると， $a ，$ $b$ の組 $(a, b)$ はいくつあるか．

　ただし，例えば， $(a, b) = (1, 360) ，$ $(360, 1)$ は，異なる組としてあつかうこととする．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【16】　 $▵ABC$ の各頂点を移動する動点 $P$ について考える．動点 $P$ は， $1$ 個のさいころを投げたとき， $5$ の目が出れば時計回りに， $6$ の目が出れば反時計回りにそれぞれ隣の頂点に移り， $1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $4$ の目が出れば移動しないものとする．さいころを $n$ 回 $（ n$ は $0$ 以上の整数）投げたあと，動点 $P$ が頂点 $A$ 上にある確率を $p_{n}$ とする． $\lim_{n \to \infty} 6 p_{n}$ の値を求めよ．ただし，動点 $P$ は，最初には，頂点 $A$ 上に存在するものとする．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【17】　 $\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 4 x}{x + \sin x}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【18】　 $\lim_{x \to 0} \frac{2^{x} - 1}{x} = k$ としたとき， $a < {(2.7)}^{k} < a + 1$ となる整数 $a$ が存在する． $a$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【19】　曲線 $C ： y = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 102 x^{2} + 180 x + 10$ と直線 $l ： y = k$ $（ k$ は実数）について考える．曲線 $C$ と直線 $l$ がすべて異なる $4$ つの点で交わるとき， $k$ のとりうる範囲は， $a < k < b$ となる． $\frac{a + b}{26}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【20】　数列 ${a_{n}}$ は， $a = 1 ，$ $n$ が $2$ 以上の自然数では， $\int_{0}^{1} (a_{n - 1} x - a_{n}) x^{n} dx = 0$ を満たす． $\lim_{n \to \infty} 2 n a_{n}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【21】　関数 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ の最大値を $M ，$ 最小値を $m$ とする． $| 4 M m |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【22】　 $2$ つの曲線 $C 1 ： y = x^{3} - x^{2} - 12 x - 1$ と $C 2 ： y = - x^{3} + 2 x^{2} + a$ について考える．曲線 $C 1$ と $C 2$ が共有点をもち，その点で共通の接線をもつとき， $\frac{a}{2}$ の値を求めよ．ただし， $a$ は自然数とする．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【23】　 $2$ つの曲線 $C 1 ： n y = x^{2}$ と $C 2 ： (n + 1) x = y^{2}$ $（ n$ は自然数， $x ≧ 0 ，$ $y ≧ 0 ）$ について考える．曲線 $C 1$ と $C 2$ で囲まれた部分の面積を $S_{n}$ とする． $\lim_{n \to \infty} \frac{27 S_{n}}{n^{2}}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【24】　円 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ と直線 $l ： y = k$ $（ k$ は正の実数）について考える．円 $C$ と直線 $l$ は，異なる $2$ つの点 $P$ $(p, k) ，$ $S$ $(s, k)$ で交わることとする $（ s > p ）．$ 円 $C$ と $x$ 軸との $2$ つの交点を $Q$ $(- 2, 0) ，$ $R$ $(2, 0)$ としたとき，四角形 $PQRS$ の面積の最大値を $M$ とする． $\frac{M}{\sqrt{3}}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

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【25】　動点 $P$ の座標は， $P$ $(1 - \cos θ, θ - \sin θ)$ として与えられる $（ 0 ≦ θ ≦ 2 π ）．$ 動点 $P$ の動いた長さを $L$ とする． $L$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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