2017　青山学院大学　理工学部A方式MathJax

$\alpha -{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=\text{1}\text{，}$${\alpha }^2+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}=\text{2}\text{3}$

である．よって，

${(\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }})}^2=\text{4}\text{5}$

となる．これから，

${\alpha }^3-{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}=\text{6}\text{7}\text{8}\text{，}$${\alpha }^3+{\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}}=\text{9}\text{10}\sqrt{\text{11}\text{12}}$

となる．

(1)　$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{o}\text{，}$$\mathrm{y}\text{，}$$\mathrm{a}\text{，}$$\mathrm{m}\text{，}$$\mathrm{a}$と並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}\text{15}\text{16}}}$である，

(2)　選んだ文字が$2$種類である確率は${\displaystyle \frac{\text{17}}{\text{18}\text{19}}}\text{，}$$3$種類である確率は${\displaystyle \frac{\text{20}\text{21}}{\text{22}\text{23}}}\text{，}$$4$種類である確率は${\displaystyle \frac{\text{24}\text{25}}{\text{26}\text{27}}}$である．

(1}　$2$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$およびこれらの中点$\mathrm{L}$の座標を$k$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AT}$に平行で$2$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$と線分$\mathrm{BT}\text{，}$$\mathrm{CT}\text{，}$$\mathrm{DT}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の座標を$k$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{LQ}$の長さを$k$を用いて表せ．

(4)　五角形$\mathrm{MPQRN}$の面積を$k$を用いて豪せ．

(5)　五角形$\mathrm{MPQRN}$の面積が最大となる$k$の値，およびそのときの面積を求めよ．

(1)　$I_1$の値を求めよ，

(2)　$I_n-I_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$の値を$n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\leqq 1$を用いて$\left|I_n\right|\leqq {\displaystyle \frac{1}{2n-1}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{2k-1}}\right)$を求めよ，