2017　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

$m^2-n^2-5m-n+18=0$$\cdots \text{①}$

を満たす自然数の組$(m,n)$について考える．$\text{①}$は

$(m+n-\text{1})(m-n-\text{2})=-\text{3}\text{4}$

と変形できるので，自然数の組$(m,n)$は

$(\text{5},\text{6})\text{，}$$(\text{7},\text{8})\text{，}$$(\text{9},\text{10})$

に限られる．ここで，$\text{5}<\text{7}<\text{9}$が成り立つものとする．

(1)　この細菌が$2$分後に$1$個になる確率は，$1$分後に$1$個である場合と$2$個である場合に分けて考えると，${\displaystyle \frac{\text{11}}{\text{12}\text{13}}}$となる．同様に，$2$分後に$2$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{14}}{\text{15}}}\text{，}$$3$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{16}}{\text{17}\text{18}}}\text{，}$$4$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{19}}{\text{20}\text{21}}}$である．

(2)　この細菌が$3$分後に$6$個になる確率は${\displaystyle \frac{\text{22}\text{23}}{\text{24}\text{25}\text{26}\text{27}}}$である．

(1)　直線$\mathrm{AB}$に$x$軸上の点$\mathrm{U}$$(u,0,0)$から垂線を下ろし，直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を$u$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵UAB}$の面積を$S$とする．点$\mathrm{U}$が$x$軸上を動くとき，面積$S$が最小になる点$\mathrm{U}$の座標と，そのときの$S$の値を求めよ．

$l\text{：}x=t\text{，}$

および中心$(0,2)\text{，}$半径$\sqrt{2}$の円

$C\text{：}{x}^2+{(y-2)}^2=2$

を考える．原点を$\mathrm{O}\text{，}$直線$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$l$と円$C$の$2$つの交点のうち，$y$座標が小さい方を$\mathrm{Q}\text{，}$大きい方を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\tan \mathrm{\angle POQ}\text{，}$$\tan \mathrm{\angle POR}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\tan \mathrm{\angle QOR}$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0<t<\sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{\angle QOR}$が最大になる$t$の値とそのときの$\mathrm{\angle QOR}$の値を求めよ．

(1)　接点${\mathrm{T}}_1$の座標$(a_1,b_1)$を求めよ．

(2)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対して，接点${\mathrm{T}}_n$の座標$(a_n,b_n)$を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$2$直線${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{T}}_{n-1}\text{，}$${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{T}}_n$および曲線$y=e^x$で囲まれる領域の面積$S_n$を求めよ．ただし，${\mathrm{T}}_0$は点$(0,1)$とする．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }({\displaystyle \frac{1}{e^N}}{\displaystyle \sum _{n=1}^N}{S}_n)$を求めよ．