2017　青山学院大学　経済学部A，B方式MathJax

【１】(1)　方程式$4x-3y=65$を満たす自然数の組$(x,y)$は$\text{1}$組あり，そのうち$x$の値が$2$番目に小さい組は$(\text{2},\text{3}\text{4})\text{，}$$3$番目に小さい組は$(\text{5},\text{6}\text{7})$である．

【１】(2)　$S=1+4x+7x^2+\cdots +(1+3k)x^k+\cdots +28x^9$は，$x=\text{8}$のとき，$S=\text{9}\text{10}\text{11}$であり，$x\ne \text{8}$のとき，$S={\displaystyle \frac{\text{12}\text{13}{x}^{11}-\text{14}\text{15}{x}^{10}+\text{16}x+\text{17}}{{(x-\text{18})}^2}}$である．

【１】(3)　次の式

${(\sqrt{2}+i)}^4+{(\sqrt{2}-i)}^4$

を計算すると$\text{19}\text{20}\text{21}$である．

【１】(4)　次の等式

${\displaystyle {\int }_x^a}f(t)\mathit{dt}=x^2-5x+6$

を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=\text{22}\text{23}x+\text{24}\text{，}$また定数$a$は，小さい順に$\text{25}$と$\text{26}$である．

【１】(5)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+7x+b=0$が解$1-2i$をもつとき，係数$a=\text{27}\text{28}\text{，}$$b=\text{29}\text{30}\text{，}$また他の解は$\text{31}$および$\text{32}+\text{33}i$である．ただし$a\text{，}$$b$は実数とする．

【２】(1)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}|x-1|\leqq 4\\ (2y+x^2-4x+2)(2y+x+2)\leqq 0\end{array}$

の表す領域の面積は，${\displaystyle \frac{\text{34}\text{35}\text{36}}{\text{37}}}$である．

【２】(2)　$x\text{，}$$y$が実数で${(x+1)}^2+{(y-1)}^2-1\leqq 0$であるとき，${\displaystyle \frac{x+y+2}{x-y+4}}$の最大値は$\text{38}+\sqrt{\text{39}}$である．

【２】(3)　$a$を定数とする．$x$についての方程式

${\cos }^{2}x+\sin x-a-1=0$

の$0\leqq x<2\pi$における異なる実数解の個数は，$a<\text{40}\text{41}$のとき$\text{42}\text{，}$$a=\text{40}\text{41}$のとき$\text{43}\text{，}$$\text{40}\text{41}<a<\text{44}$のとき$\text{45}\text{，}$$a=\text{44}$のとき$\text{46}\text{，}$$\text{44}<a<{\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}$のとき$\text{49}\text{，}$$a={\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}$のとき$\text{50}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{47}}{\text{48}}}<a$のとき$\text{51}$である．

【３】(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．最初に$\mathrm{A}$は$10$枚，$\mathrm{B}$は$20$枚の硬貨を持っている．$1$個のさいころを投げて偶数が出たら$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に硬貨を$1$枚渡し，奇数が出たら$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に硬貨を$1$枚渡す．

1.　このゲームを$10$回行ったのちも，$\mathrm{A}$が$10$枚，$\mathrm{B}$が$20$枚の硬貨を持っている確率は${\displaystyle \frac{\text{52}\text{53}}{\text{54}\text{55}\text{56}}}$である．

2.　このゲームを$4$回行ったとき，$4$回のゲーム終了時に初めて$\mathrm{A}$が$10$枚，$\mathrm{B}$が$20$枚の硬貨を持つ状態に戻る確率は${\displaystyle \frac{\text{57}}{\text{58}}}$である．

3.　このゲームをどちらかの手持ちの硬貨がなくなるまで続けるとき，$\mathrm{A}$の硬貨がなくなる確率は${\displaystyle \frac{\text{59}}{\text{60}}}$である．

【３】(2)　$1$から$n$までの数を$1$つずつ書いた札が$n$枚ある．これを母集団とし，札に書かれた数字をこの母集団の変量とする．

1.　この母集団の母平均は${\displaystyle \frac{\text{61}+n}{\text{62}}}$である．

2.　この母集団の母分散は${\displaystyle \frac{\text{63}\text{64}+n^2}{\text{65}\text{66}}}$である．

【３】(3)　ある地方都市で，$100$人を無作為に選んで調べたところ，市長の支持者は$90$人であった．この都市における市長の支持率$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$0.\text{67}\text{68}\leqq p<0.\text{69}\text{70}$

である．ただし，小数第$3$位を四捨五入して，小数第$2$位まで求めよ．

【４】　$1$から$n$までの自然数について，自然数$k$$\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$に自然数$m$$\text{（}1\leqq m\leqq n\text{）}$を対応させる関数$m=f(k)$があって，