2017　学習院大学　理学部MathJax

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　$a\text{，}b$を正の実数とするとき，極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }x\sin (\sqrt{a^2{x}^2+b}-ax)$

を求めよ．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　複素数

$z=1+\sqrt{3}i\text{，}w={\displaystyle \frac{1}{-1+i}}$

に対して，$z^8{w}^7$の絶対値$r$と偏角$\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【２】　自然数$n$に対して，$3n^3+n$と$n^3+1$の最大公約数を$g$とする．

(1)　すべての$n$について，$g\ne 5$であることを示せ．

(2)　$g=14$となるような$n$の最小値を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

(1)　さいころを$3$回投げて，出た目を順に$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a\text{，}b\text{，}c$がすべて異なっているという条件の下で，$a+b+c=9$である確率を求めよ．

【３】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．．また，答えが分数になる場合は，既約分数で答えよ．

(2)　$x$が実数全体を動くとき，関数$\cos 3x+4\cos 2x-8\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．連立不等式

$0\leqq x\leqq \sqrt{3}\text{，}0\leqq y\leqq |f(x)-a|$

で定まる領域を$x$軸の回りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(3)　$a$が実数全体を動くとき，$V$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．

この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．