2017　慶応義塾大学　看護医療学部

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$とする．

(ⅰ)　${\log }_{10}5=\boxed{\text{(ア)}}$である．

(ⅱ)　${27}^{27}$は$\boxed{\text{(イ)}}$桁の整数で，${27}^{27}$の正の約数は全部で$\boxed{\text{(ウ)}}$個ある．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　$i$を虚数単位とし，$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}(-1+i)}{2}}$とする．このとき${\alpha }^2=\boxed{\text{(エ)}}$であり，${\alpha }^{211}=\boxed{\text{(オ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　整式$x^3+a{x}^2+bx+6$を$x-1$で割ると$4$余り，$x+2$で割ると$-20$余る．このとき$a$と$b$の値の組は$(a,b)=\boxed{\text{(カ)}}$である．

【１】　以下の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　$a$を実数とする．このとき$5$つの値$a+2\text{，}a-3\text{，}a+4\text{，}a-1\text{，}a+3$からなるデータの平均値は$\boxed{\text{(キ)}}$であり，分散は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)　$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{U}$の$9$文字をすべて$1$列に並べるとき，異なる文字列の個数は$\boxed{\text{(ケ)}}$である．この$9$文字から$2$文字を取り出して$1$列に並べるとき，異なる文字列の個数は$\boxed{\text{(コ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(2)　円$x^2+y^2-10x+4y=0$と直線$y=2x-7$の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．このとき，線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{(サ)}}$である．また，線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線の方程式は$y=\boxed{\text{(シ)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(3)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$-\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}$を満たす$\theta$のうち最大のものは$\theta =\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

(4)　$a>0$とし，平面上に$3$点$\mathrm{A}(a,3)\text{，}\mathrm{B}(-4,1)\text{，}\mathrm{C}(0,5)$をとる．また，線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$から$x$軸に引いた垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BC}$上を動くときの三角形$\mathrm{PQA}$の面積の最大値を$S(a)$とすると，$\beta =\boxed{\text{(セ)}}$として

$S(x)=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{(ソ)}}& \text{（}0<\alpha <\beta \text{）}\\ \boxed{\text{(タ)}}& \text{（}\alpha \geqq \beta \text{）}\end{array}$

と表せる．

【３】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

　平面上の点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に対して$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1\text{，}$$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{a}=1$とする．ただし，ベクトル$\overrightarrow{x}$の大きさを$\left|\overrightarrow{x}\right|\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積を$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$と表す．

　このとき$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{(チ)}}$であり，$\left|\overrightarrow{b}\right|=\boxed{\text{(ツ)}}$である．また$\angle \mathrm{AOB}$の二等分戦が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{C}$とし，$\theta =\angle \mathrm{ACO}$$\text{（}0\mathrm{°}<\theta <180\mathrm{°}\text{）}$とすると，$\theta =\boxed{\text{(テ)}}$であり，$\sin \theta =\boxed{\text{(ト)}}$である．よって，三角形$\mathrm{OAC}$の外接円の半径は$\boxed{\text{(ナ)}}$である．さらに，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\boxed{\text{(ニ)}}$である．

【４】　以下の$\boxed{}$に最もふさわしい数または式などを解答欄に記入しなさい．

　動点$\mathrm{P}$は時刻$0$で右図の正八面体$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{A}$にいるとし，次の規則に従って$1$秒ごとに頂点を移動する．

　自然数$n$に対して，$n$秒後に$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n\text{，}$頂点$\mathrm{F}$にいる確率を$b_n\text{，}$頂点$\mathrm{A}$にも$\mathrm{F}$にもいない確率を$c_n$とする．このとき$b_2=\boxed{\text{(ヌ)}}\text{，}{c}_2=\boxed{\text{(ネ)}}$である．また$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$c_n$の式で表すと

$a_{n+1}=\boxed{\text{(ノ)}}\text{，}{b}_{n+1}=\boxed{\text{(ハ)}}\text{，}{c}_{n+1}=\boxed{\text{(ヒ)}}$

である．よって，数列$\{c_n\}$の一般項は$\boxed{\text{(フ)}}$である．

【５】　$f(x)=-x^2+2x+6\left|x\right|$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかきなさい．

(2)　$a\text{，}b$を$a<0<b$となる実数とする．曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{A}(a,f(a))$における接線と点$\mathrm{B}(b,f(b))$における接線が一致するとき，$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(3)　$a\text{，}b$を上の(2)で求めた値とし，$2$点$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(b))$を通る直線を$l$とする．このとき，直線$l$の方程式を求めなさい．

(4)　直線$l$を上の(3)で求めたものとする．このとき，曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．