2017　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】(1)　$\alpha \text{，}\omega$は定数で，$\omega >0$とする．媒介変数$t$で表された曲線

$x=2\cos (\omega t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{，}y=\sin (\omega t+\alpha )$

について，$t$を消去して$x\text{，}y$の方程式を求める．$\alpha ={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，求める方程式は$\boxed{\text{(ア)}}$である．また，$-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\alpha <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，$\beta =\sin (\alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$とおくと，求める方程式は

$\boxed{\text{(イ)}}{x}^2-\boxed{\text{(ウ)}}xy+\boxed{\text{(エ)}}{y}^2=1$

である．ただし(イ)，(ウ)，(エ)には$\beta$の式を書きなさい．

【１】(2)　$i$を虚数単位とし，集合$\mathrm{L}$と$\mathrm{M}$を

$\mathrm{L}=\{z|z\text{は整数}a\text{，}b\text{を用いて}z=a+bi\text{と表される複素数}\}$

で定める．複素数$z=a+bi$に対して，$z\in \mathrm{L}$ならば${\left|z\right|}^2=\boxed{\text{(オ)}}$は整数である．

　また，$z\in \mathrm{M}$ならば${\left|z\right|}^2=\boxed{\text{(カ)}}$であり，集合$\mathrm{M}$の要素の個数$n(\mathrm{M})$は$\boxed{\text{(キ)}}$である．集合$\mathrm{M}$の要素$z$のうち，実部が最も大きくかつ虚部が正となる$z$は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【１】(3)　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t^2}dt$と定め，$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を用いて関数$g(t)$を$g(t)=f^{-1}(t)$と定める．このとき，関数$G(x)=\boxed{\text{(ケ)}}$を用いて$g^{″}(t)=G(g(t))$と表すことができる．

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の球面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\sqrt{10}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$は平面$\alpha$上にないとする．さらに，$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{DG}$の中点が点$\mathrm{O}$であるとする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{(コ)}}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\boxed{\text{(サ)}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$の位置ベクトルは$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OB}}+y\overrightarrow{\mathrm{OC}}$（$x\text{，}y$は実数）と表され，かつ直線$\mathrm{OP}$は平面$\alpha$に直交しているとする．このとき，$x=\boxed{\text{(シ)}}\text{，}$$y=\boxed{\text{(ス)}}$である．いま，$t$を実数とし，点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{DH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$によって決まる点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{(セ)}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\boxed{\text{(ソ)}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{\text{(タ)}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．さらに，点$\mathrm{H}$が平面$\alpha$上にあるとすると，$t=\boxed{\text{(チ)}}$である．

(3)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\boxed{\text{(ツ)}}$である．

【３】　$f(x)$を閉区間$[0,1]$で定義された連続な増加関数とし，$n$を正の整数とする．また，$I_n\text{，}{J}_n$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\sin ((2n+1)\pi x)dx$

$J_n={\displaystyle {\int }_0^1}f(x)|\sin ((2n+1)\pi x)|dx$

で定める．

(1)　$x$についての方程式$\sin ((2n+1)\pi x)=0$の実数解で区間$[0,1]$に属するものは$\boxed{\text{(テ)}}$個ある．それらを小さい順に$x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_N\text{（}N=\boxed{\text{(テ)}}-1\text{）}$と並べると，$x_k=\boxed{\text{(ト)}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$である．

　次に，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}\boxed{\text{(テ)}}-2$に対して，$a_k$を

$a_k={\displaystyle {\int }_{x_k}^{x_{k+1}}}f(x)\sin ((2n+1)\pi x)dx$

で定める．このとき，次の(F1)，(F2)が成り立つ．

(F1)　$k$が偶数のとき$f(x_k){\displaystyle \frac{2}{(2n+1)\pi }}\leqq a_k\leqq f(x_{k+1}){\displaystyle \frac{2}{(2n+1)\pi }}$

(F2)　$k$が奇数のとき$-f(x_{k+1}){\displaystyle \frac{2}{(2n+1)\pi }}\leqq a_k\leqq -f(x_k){\displaystyle \frac{2}{(2n+1)\pi }}$

(2)　(F1)が成り立つことを証明しなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$が成り立つことを証明しなさい．必要であれば，(F1)，(F2)を証明なしに用いてよい．

(4)　数列$\{J_n\}$の極限は関数$f(x)$の定積分を用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_n=\boxed{\text{(ナ)}}$と表すことができる．

【４】　数字の$1$が書かれたカードが$1$枚，$2$が書かれたカードが$2$枚，$3$が書かれたカードが$3$枚，$4$が書かれたカードが$4$枚の合計$10$枚のカードが入った箱がある．この箱の中からカードを$1$枚取り出し，書かれている数字を記録して箱の中に戻すという操作を繰り返す．

(1)　操作を$2$回行ったとき，記録されている$2$つの数の和がそれら$2$つの数の積より大きくなる確率は$\boxed{\text{(ニ)}}$である．

(2)　操作を$4$回行った時点で，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の全ての数が記録されている確率は$\boxed{\text{(ヌ)}}$である．また，操作を$4$回行った時点で記録されている数のうち最大の数が$3$である確率は$\boxed{\text{(ネ)}}$である．

(3)　操作を$n$回（$n\geqq 2$）行った時点で記録されている数が$2$種類で，かつそのうちの$1$つが$1$である確率は$\boxed{\text{(ノ)}}$である．また，操作を$n$回（$n\geqq 2$）行った時点で記録されている数が$2$種類であったとき，そのうちの$1$つが$1$である条件付き確率を$p_n$とすると，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(p_n)}^{\frac{1}{n}}=\boxed{\text{(ハ)}}$が成り立つ．

(4)　操作を$n$回（$n\geqq 2$）行った時点で$1$と$4$の両方の数が記録されていて，かつ$1$が$4$より先に記録されている確率は$\boxed{\text{(ヒ)}}$である．

【５】(1)　$\alpha \text{，}\beta$は定数で，$\alpha >0\text{，}\beta >0$とする．$x$の$3$次方程式

$18x^3-6\alpha x+\beta =0$

がただ$1$つの実数解をもつための必要十分条件は$\beta >\boxed{\text{(フ)}}$である．$\beta =\boxed{\text{(フ)}}$のとき，曲線$y=18x^3-6\alpha x+\beta$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表すと$\boxed{\text{(ヘ)}}$となる．

【５】(2)　　放物線$C\text{：}y=3x^2$上の点$\mathrm{P}(-a,3a^2)\text{（}a>0\text{）}$における法線と$C$との交点で点$\mathrm{P}$と異なる点の$x$座標を$X(a)$とする．$X(a)=\boxed{\text{(ホ)}}$であり，$a>0$における$X(a)$の最小値は$\boxed{\text{(マ)}}$である．

　次に，$x_0>0$とし，点$\mathrm{Q}(x_0,y_0)$を放物線$C$上にない点とする．$C$上の点における法線で点$\mathrm{Q}$を通るものがただ$1$つであるための必要十分条件は，$x\geqq 0$で定義された連続関数$f(x)=\boxed{\text{(ミ)}}$に対して，$y_0<f(x_0)$が成り立つことである．