2017　上智大学　総合人間,外国語,経済学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　関数

$f(x)={({\log }_2{x}^2)}^2+{\log }_2(6x^4)$$({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 8)$

は，$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ア}}}{\text{イ}}}$で最小値${\log }_2\text{ウ}$をとる．

【１】(2)　方程式$3x+5y=2$のすべての整数解$x\text{，}$$y$を次で表す．

$x=ak+b\text{，}$$y=ck+d$$\text{（}k$は整数）

ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は整数の定数で，$a>c\text{，}$$|bd|<5$を満たすものとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は，$a=\text{エ}\text{，}$$b=\text{オ}\text{，}$$c=\text{カ}\text{，}$$d=\text{キ}$である．

【１】(3)　$\alpha =-1+\sqrt{3}i\text{，}$$\beta =1+\sqrt{3}i$とする．このとき，自然数$n$に対し

${\displaystyle \frac{{\alpha }^{n+2}+2{\alpha }^{n+1}+4{\alpha }^n+3{\alpha }^5+12{\alpha }^4+12{\alpha }^3}{{\beta }^6-2{\beta }^5+6{\beta }^4}}$

の値は，${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}}i$である．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=-x^2+4\text{，}$$g(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

を考える．$2$点$\mathrm{A}$$(-1,f(-1))\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,f(2))$は，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点である．

(1)　$b=\text{ス}a+\text{セ}\text{，}$$c=\text{ソ}a+\text{タ}$である．

(2)　$g^{\prime }(1)=0$を満たすとする．このとき，$a=\text{チ}$である．また，曲線$y=g(x)$上の点$\mathrm{P}$$(x,g(x))$が$-1<x<2$の範囲で動くとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を頂点とする$\mathrm{▵ABP}$の面積が最大となるのは，

$x={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}\sqrt{\text{ニ}}$

のときである．

(3)　$a>0$とし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と，点$\mathrm{Q}$$(0,g(0))$を頂点とする$\mathrm{▵ABQ}$の面積を$S_1$とする．このとき，$S_1=\text{ヌ}(a+\text{ネ})$である．また，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$l$と放物線$y=f(x)$が囲む図形の面積を$S_2$とする．$S_2-{S_1}^2$は，$a=\text{ノ}+\text{ハ}\sqrt{\text{ヒ}}$のとき最小となる．

【３】　さいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$m\text{，}$$2$回目に出た目を$n$とする．この$m$と$n$を用いて座標空間に点$\mathrm{P}$$(m,n,0)$をとる．また，平面$z=0$上において，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$x^2+y^2<36$

(1)　$\mathrm{P}$が$D$に含まれる$m$と$n$の組は，$\text{フ}$組ある．

(2)　座標空間において，原点を中心とし，半径が$6$の球$\mathrm{O}$を考える．$\mathrm{P}$$(m,n,0)$が$D$に含まれるとき，球$\mathrm{O}$の球面上に点$\mathrm{Q}$$(m,n,a)$をとり，$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．

(ⅰ)　$k=m^2+n^2$とおくとき，$S$を$k$で表すと，

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\text{ヘ}{k}^2+\text{ホ}k+\text{マ}}$

である．

(ⅱ)　$S$の最大値$\text{ミ}$を与える$m$と$n$の組は，$\text{ム}$組ある．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$が$D$に含まれるときに，$7\leqq S\leqq \text{ミ}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{メ}}{\text{モ}}}$である．また，$\mathrm{P}$が$D$に含まれ，さらに$7\leqq S\leqq \text{ミ}$であるときに，$\mathrm{P}$について$m+n\geqq 6$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}$である．