2017　上智大学　理工学部2月8日実施MathJax

【１】　$i$を虚数単位とする．

(1)　$\alpha =2+(1-\sqrt{3})i\text{，}\beta =1+3i$を複素数平面上の点とする．

(ⅰ)　点$\beta$を中心として，点$\alpha$を反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転すると，

$(\boxed{\text{ア}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}})+\boxed{\text{ウ}}i$

になる．

(ⅱ)　点$\boxed{\text{エ}}+\boxed{\text{オ}}i$を中心として，点$\alpha$を反時計回りに${\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$だけ回転すると，点$\beta$に重なる．

(2)　複素数$z$は$\left|z\right|=1$を満たすとする．

$w={\displaystyle \frac{-z+2i}{2z+i}}$

とおくとき，$\left|w\right|$のとり得る値の最大値は$\boxed{\text{カ}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【２】　座標空間に点$\mathrm{A}(0,-1,4)\text{，}\mathrm{B}(5,-1,4)\text{，}\mathrm{C}(3,0,1)\text{，}\mathrm{D}(3,4,4)$があり，点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$がそれぞれ一定の速度で直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$上を動いている．$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$は時刻$t=0$でそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$にあり，時刻$t=5$ではそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$にあるとする．

(1)　時刻$t$において，

$\mathrm{M}(\boxed{\text{ケ}}t,-1,4)\text{，}\mathrm{N}(3,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}t,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}t+1)$

である．

(2)　$t=\boxed{\text{セ}}$のとき，$\mathrm{MN}$は最小値$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$をとる．

(3)　$3$点$(0,0,1)\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を頂点とする三角形の面積は，$t=\boxed{\text{タ}}$のとき，最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$をとる．

【３】　$e$を自然対数の底とする．$y=e^x$で表される曲線を$C$とし，原点から$C$へ引いた接線を$l$とする．曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．

(1)　$C$と$l$の接点の$x$座標は$\boxed{\text{ト}}$である．

(2)　$D$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}e+\boxed{\text{ヌ}}$である．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は

$\pi ({\displaystyle \frac{e^2}{\boxed{\text{ネ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}})$

である．

(4)　$a=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}b=\boxed{\text{フ}}$であるとき，

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(x^2+ax+b)e^x\}=x^2{e}^x$

となる．

(5)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は

$\pi ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}e+\boxed{\text{マ}})$

である．

【４】　$m$を$5$以上の自然数とする．$m$個の点を平面にある円周上に等間隔に並べる．これら$m$個の点に，時計回りに順番に$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m$と番号を付ける．以下，隣り合った点を時計回りに移動することを「進む」といい，反時計回りに移動することを「戻る」ということとする．例えば，点$1$から$3$つ進むと点$4$に移動し，点$m$から$3$つ進むと点$3$に移動し，点$1$から$3$つ戻ると点$(m-2)$に移動する．次の$2$つの操作を考える．

(操作A)　$5$つ進み，移動した点に白石を置く．

(操作B)　$2$つ戻り，移動した点に黒石を置く．

ある人が点$m$を出発点として操作Aを行い，次に操作Bを行い，以下交互に操作Aと操作Bを繰り返し移動を続け，すべての点に石をおいたら操作を終了する．ただし，移動した点にすでに石が置かれている場合は，その石を取り除いて新たに石を置くものとする．

(1)　$m=10$のとき，$\boxed{\text{ミ}}$回石を置くと操作は終了する．終了したとき，最後にいる点の番号は$\boxed{\text{ム}}$であり，置かれている黒石は$\boxed{\text{メ}}$個である．

(2)　$m=11$のとき，$\boxed{\text{モ}}$回石を置くと操作は終了する．終了したとき，最後にいる点の番号は$\boxed{\text{ヤ}}$であり，置かれている黒石は$\boxed{\text{ユ}}$個である．

(3)　$m=12$のとき，番号$\boxed{\text{ヨ}}\text{，}\boxed{\text{ラ}}\text{，}\boxed{\text{リ}}\text{，}\boxed{\text{ル}}$の点には石が置かれず操作は終了しない．

ただし，$\boxed{\text{ヨ}}<\boxed{\text{ラ}}<\boxed{\text{リ}}<\boxed{\text{ル}}$である．

(4)　操作が終了しないための必要十分条件は，$m$が$\boxed{\text{レ}}$で割り切れることである．$m$が自然数$n$を用いて$m=\boxed{\text{レ}}n+1$と表されるとき，$\boxed{\text{ロ}}n+\boxed{\text{ワ}}$回石を置くと操作は終了し，終了したときに置かれている黒石は$\boxed{\text{ヲ}}n+\boxed{\text{ン}}$個である．