2017　上智大学　推薦理工学部MathJax

【１】　実数$x$に対し，$f(x)=2\sin x+\cos 2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を考える．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)=0$の解を求めよ．

(3)　関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(4)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸の$2$つの共有点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$とする．線分$\mathrm{AB}$と曲線$y=f(x)\text{（}a\leqq x\leqq b\text{）}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c\text{，}$ただし$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．$y=f(x)$のグラフを$C$と表す．

(1)　$C$上の点のうち，そこでの接線の傾きが最小となる点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$C$は点$\mathrm{P}$に対して点対称であることを示せ．

(3)　$f(x)$が極大極小を持つための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c$の関係式として表せ．

(4)　$C$上の点$\mathrm{P}$以外の点$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線$l$は別の点$(\beta ,f(\beta ))$で$C$と交わることを示せ．またこのとき，$C$と$l$とで囲まれる図形の面積を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．