2017　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式

$x^2-2kx+4k-1=0$

が実数解のみをもつような定数$k$の範囲は$\boxed{\text{ア}}$であり，$2$つの解がともに自然数となるような定数$k$の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(2,3)\text{，}\mathrm{B}(6,11)\text{，}\mathrm{C}(x,y)$に対して$▵\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ACB}$が直角となる二等辺三角形とする．また$x>0$とする．このとき$(x,y)=\boxed{\text{ウ}}$である．また$\mathrm{O}$を原点とするとき$\tan \angle \mathrm{AOC}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　次の図のような格子状の道路がある．$\mathrm{A}$を出発し$\mathrm{K}$を通り地点$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{オ}}$通りである．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く最短経路は$\boxed{\text{カ}}$通りである．ただし，格子上の道路しか通ってはいけない．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の等式

${\log }_2\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{3}{2}}{\log }_2\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2\cos \theta$

が成立するとき$\tan \theta =\boxed{\text{キ}}$

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　曲線$A\text{：}y=x^2$と曲線$B\text{：}y=-x^2+2x-5$の共通接線の中で傾きがもっとも大きいものの方程式は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　座標平面上で平行四辺形$\mathrm{OPQR}$の内部に，点$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$を中心とする$2$つの円$S$と$T$が図のように接している．円$S$は$x$軸と直線$l$および直線$m$と接し，円$T$は直線$m$と直線$n$に接している．点$\mathrm{S}$を通り$y$軸と平行な直線と，点$\mathrm{T}$を通り$x$軸と平行な直線との共有点を$\mathrm{U}$とする．ここで，直線$l$と$x$軸のなす角度は$60\mathrm{°}\text{，}\mathrm{OP}=6\text{，}$円$S$の半径は$\sqrt{3}$とする．次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{コ}}$である．

(ⅲ)　点$\mathrm{S}$の座標は$\boxed{\text{サ}}$である．

(ⅳ)　円$T$の半径を$t$とする．点$\mathrm{T}$の座標を$t$を用いて表すと$\boxed{\text{シ}}$である．

(ⅴ)　直角三角形$\mathrm{STU}$に三平方の定理を適用し整理すると，$t$に関する$2$次方程式$\boxed{\text{ス}}$を得る．$2$つの解の一方は不適なので，$t=\boxed{\text{セ}}$である．

【３】　座標平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(a,b)$と$\overrightarrow{q}=(c,d)$に対して$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}⟩$を以下のように定める．

$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}⟩={\displaystyle {\int }_{-1}^1}(ax+b)(cx+d)dx$

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{p}=(3,2)$のとき，$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}⟩$を求めよ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{p}=(3,2)$のとき，$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}⟩=0$および$⟨\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}⟩={\displaystyle \frac{7}{6}}$となる$\overrightarrow{q}$をすべて求めよ．

(ⅲ)　$\overrightarrow{p}=(a,b)$と$\overrightarrow{q}=(c,d)$に対して$⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}⟩$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(ⅳ)　$\overrightarrow{p}=(a,b)$と$\overrightarrow{q}=(c,d)$に対して以下の不等式を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

${⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}⟩}^2\leqq ⟨\overrightarrow{p},\overrightarrow{p}⟩⟨\overrightarrow{q},\overrightarrow{q}⟩$

【４】　底面の半径$r\text{，}$高さ$h$の直円錐$2$つを，図のように逆向きにして互いの中心軸（頂点と底面の中心を結んだ線）を重ね合わせて互いに貫く立体を考える．ただし$r\text{，}h$は正の実数で定数とする．$2$つの円錐の底面の間の距離すなわち$2$つの底面の中心の間の長さを$2a$とする．ただし$0<a<{\displaystyle \frac{h}{2}}$とする．$2$つの円錐の共通部分の体積を$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$V\left({\displaystyle \frac{h}{3}}\right)$を$h\text{，}r$で表せ．

(ⅱ)　$V(a)$を$a\text{，}h\text{，}r$で表せ．

(ⅲ)　$V(a)$の増減を調べよ．

(ⅳ)　$V(a)$が最大になる$a$を$h$を用いて表せ．