2017　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　直線$y=k(x+1)$が曲線$y=x^2-3x$と共有点をもつ$k$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$である．また，$y=2(x+1)$と$y=x^2+2|x-3|-4$の共有点の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　生徒$10$人のハンドボール投げの距離を小さい方から順に並べたものが次のデータである．

$16\text{，}20\text{，}23\text{，}25\text{，}26\text{，}28\text{，}28\text{，}30\text{，}35\text{，}37$（メートル）

このとき，このデータの中央値を求めると$\boxed{\text{ウ}}$メートルであり，四分位範囲は$\boxed{\text{エ}}$メートルである．ただし，四分位範囲とは，第$3$四分位数から第$1$四分位数を引いた値である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$までの和が$n^2-2n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$であるとする．このとき，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\boxed{\text{オ}}$である．また，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k-1}$を$n$の式で表すと$T_n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　関数$f(\theta )=\cos \theta -2\cos 2\theta -2\sin \sin 2\theta +1$があり，$0\leqq \theta <2\pi$とする．$\cos \theta =t$とおき，$f(\theta )$を$t$の整式で表すと$\boxed{\text{キ}}$である．また，$f(\theta )=0$の解で不等式$\sin \theta +\cos \theta >1$を満たすものを求めると$\theta =\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(2,1,-2)\text{，}\mathrm{B}(1,-2,1)$があり，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とする．また，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$から$\alpha$に引いた垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)　$\cos \angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{HP}}=(a,b,c)$とおくとき，$a\text{，}b$をそれぞれ$c$で表せ．

(4)　$\mathrm{P}$の座標が$(9,7,9)$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s\text{，}t$の値を求め，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【３】　$1<a<e^2$のとき，曲線$C\text{：}y=e^{2x}$と直線$l\text{：}y=a$を考える．また，$C$と$l$と$y$軸とで囲まれた図形を$D_1$とし，$C$と$l$と直線$x=1$とで囲まれた図形を$D_2$とする．

(1)　$C$と$l$の交点の$x$座標を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^{2x}dx$を求めよ．

(3)　$D_1$の面積と$D_2$の面積の和$S(a)$を求めよ．

(4)　$1<a<e^2$の範囲で(3)の$S(a)$の増減を調べ，$S(a)$が最小となる$a$の値とそのときの$S(a)$の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{4x^2+2x+1}}}$を求めると$\boxed{\text{ケ}}$である．また，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{4x^2+2x+1}-\sqrt{4x^2+x+1})$を求めると$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　複素数平面上に点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(2)\text{，}\mathrm{B}(1+\sqrt{3}i)\text{，}\mathrm{C}(\gamma )$があり，四角形$\mathrm{OABC}$は平行四辺形である．このとき，$\gamma$を求めると$\gamma =\boxed{\text{サ}}$である．さらに，点$\mathrm{D}(\delta )$が$\left|\delta \right|=|\delta -\gamma |=2$を満たし，$\mathrm{OBCD}$が四角形をなすとき，$\delta$を求めると$\delta =\boxed{\text{シ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(7)　$n$を自然数とする．$\sqrt{n^2+59}$が自然数になるとき$n=\boxed{\text{ス}}$であり，$\sqrt{n^2+52}$が自然数になるとき$n=\boxed{\text{セ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(8)　$\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$を全体集合とし，$\mathrm{A}=\{2,7,9\}$とおく．また，$\mathrm{U}$の部分集合$\mathrm{B}$は$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}=\{1,2,3,6,7,8,9\}$を満たす．このとき，$\mathrm{B}$の要素の個数$n(\mathrm{B})$のとりうる値は$n(\mathrm{B})=\boxed{\text{ソ}}$である．さらに，$\mathrm{U}$の部分集合$\mathrm{C}$が$(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})\cap \mathrm{C}=\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$を満たすとき，$\mathrm{C}$の要素の個数$n(\mathrm{C})$のとりうる値は$n(\mathrm{C})=\boxed{\text{タ}}$である．