2017　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　正の実数$\lambda$に対して，$\alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$が等式$\sin \alpha -\lambda \cos \alpha =0$を満たしている．このとき，$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$をそれぞれ$\lambda$で表すと，$\sin \alpha =\boxed{\text{ア}}\text{，}\cos \alpha =\boxed{\text{イ}}$となる．これより，$I(\lambda )={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin x-\lambda \cos x|dx$を$\lambda$で表すと$I(\lambda )=2\sqrt{1+{\lambda }^2}-(\boxed{\text{ウ}})$となり，$I(\lambda )$は$\lambda =\boxed{\text{エ}}$で最小値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の和を$3$で割ったときの余りが$1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$で，余りが$2$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，互いの目の差の絶対値がすべて$2$以下となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．次に，$n$を$2$以上の整数とし，$n$個のさいころを同時に投げる．出た目のなかで最大のものを$A\text{，}$最小のものを$B$とするとき，$A=3$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$A=5$かつ$B=2$となる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$t$を正の実数とする．$t$に対して，複素数$\alpha =2+ti$とし，$\alpha$の共役な複素数を$\bar{\alpha }$とする．方程式$z^3=-8$の解で虚部が正のものを$\omega$とする．複素数平面上の$3$点を$\mathrm{A}(\omega )\text{，}\mathrm{B}(\alpha \omega )\text{，}\mathrm{C}(\bar{\alpha }\omega )$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\omega$を極形式で表せ．ただし，$\omega$の偏角$\arg \omega$は$0\leqq \arg \omega <2\pi$とする．

(2)　線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の長さを$t$で表せ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{r}{t}}$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【３】　楕円$x^2+2y^2=1$を$D$とする．$r$が正の実数のとき，点$(1-r,0)$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$と$C$が$3$つの異なる共有点をもつような$r$の値の範囲を求めよ．

(2)　$r$が(1)で求めた範囲にあるとき，(1)の$3$つの共有点が作る三角形の面積$S(r)$を求めよ．

(3)　$r$が(1)で求めた範囲を動くとき，(2)で求めた$S(r)$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．

【４】　$0<h<1$とする．$xy$平面上の曲線$y={\displaystyle \frac{3\log x}{x^2}}\text{（}x\geqq 1\text{）}$を$C_1\text{，}$曲線$y=3h^2\log x\text{（}x\geqq 1\text{）}$を$C_2$とする．次の問いに答えよ．必要であれば，$\underset{h\to +0}{\lim }h\log h=0$を証明なしに用いてよい．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点をすべて求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x^{2n-1}}}\text{，}g(x)=x{(\log x)}^n$のとき，$f^{\prime }(x)=(-2n+1){\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x^{2n}}}+v(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)={(\log x)}^n+w(x)$と表される．$v(x)\text{，}w(x)$を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S(h)$とする．$S(h)$を$h$で表せ．

(4)　(3)で求めた$S(h)$に対して，極限$\underset{h\to +0}{\lim }S(h)$を求めよ．

(5)　曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$T(h)$とする．極限$\underset{h\to +0}{\lim }T(h)$を求めよ．