2017　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

・$a$が$0$か$3$であれば，出た目に関係なく$x=a$にとどまる．

・$a$が$1$であれば，出た目が$1$のときは$x=2$へ，目が偶数のときは$x=0$へ動き，目が$3$か$5$のときは$x=1$にとどまる．

・$a$が$2$であれば，出た目が$1$のときは$x=1$へ，目が偶数のときは$x=3$へ動き，目が$3$か$5$のときは$x=2$にとどまる．

さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1\text{，}2\text{，}3$にある確率をそれぞれ$P_1(n)\text{，}{P}_2(n)\text{，}{P}_3(n)$とすると，等式$P_1(n+1)=\boxed{\text{カ}}{P}_1(n)+{\displaystyle \frac{1}{6}}{P}_2(n)\text{，}{P}_2(n+1)={\displaystyle \frac{1}{6}}{P}_1(n)+\boxed{\text{キ}}{P}_2(n)$が成り立つので，$P_1(n+1)-P_2(n+1)=-{(\boxed{\text{ク}})}^{n+1}\text{，}{P}_1(n+1)+P_2(n+1)={(\boxed{\text{ケ}})}^{n+1}$となる．これと$P_3(n+1)={\displaystyle \frac{1}{2}}{P}_2(n)+P_3(n)$から，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_3(n)=\boxed{\text{コ}}$となる．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．また，点$\mathrm{Q}$の座標を$p$で表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上にあって$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}$と異なるものとする．このとき，$p$が満たす条件を求め，四面体$\mathrm{OPQC}$の体積$V$を$p$で表せ．

(3)　(2)の四面体$\mathrm{OPQC}$の体積$V$に対して，$p$が(2)の条件を満たしながら変化するとき，$V$を最大にする$p$の値を求めよ．

(1)　空の容器$\mathrm{V}$に水を入れたところ水面の高さが$p$となった．$\mathrm{V}$に入っている水の体積を$p$で表せ．

(2)　水が入っている容器$\mathrm{V}$に鉄球$\mathrm{B}$を入れた．このときの鉄球$\mathrm{B}$の中心の高さを求めよ．

(3)　体積が${\displaystyle \frac{63}{8}}\pi$の水が入っている容器$\mathrm{V}$に鉄球$\mathrm{B}$を入れた．このときの水面の高さを求めよ．

(4)　容器$\mathrm{V}$に水が入っている．この容器$\mathrm{V}$に鉄球$\mathrm{B}$を入れると水面が鉄球$\mathrm{B}$の中心より${\displaystyle \frac{1}{2}}$だけ高くなった．入っていた水の体積を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{x_k}^{x_{k+1}}}{\cos }^{2}nxdx$を求めよ．

(2)　$S_k$が不等式${\displaystyle \frac{\pi }{4n}}f(x_k)\leqq S_k\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4n}}f(x_{k+1})$を満たすことを示せ．

(3)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x){\cos }^{2}nxdx$を$I$で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}({\cos }^{2}nx-{\cos }^{4}nx)\log (1+{\displaystyle \frac{4}{\pi }}x)dx$を求めよ．