2017　関西大　総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　関数の列$\{f_n(x)\}$を次の関係式で順次定める．

$f_1(x)=x+1$

$f_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(x-1)f_n(x)\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$について，$f_n(x)$が$1$次関数であることを示せ．

(3)　$f_n(x)=a_{n}x+b_n$とおくとき，$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=a^2-x^2\text{（}a>0\text{）}$がある．この放物線上の点$(b,a^2-b^2)\text{（}0<b<a\text{）}$における接線を$l$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　第$1$象限において，放物線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれる部分の面積$S_1$を求めよ．

(2)　第$1$象限において，直線$l$と放物線$C$と$y$軸でかこまれる部分の面積$S_2$を求めよ．

(3)　$S_1=16S_2$であるとき，$a\text{，}b$の関係式を求めよ．

【３】　空間内に正八面体がある．この$6$つの頂点のうち$3$点が$\mathrm{A}(3,1+\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{3},2,2+2\sqrt{3})\text{，}\mathrm{C}(-\sqrt{3},0,2-2\sqrt{3})$であるとする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．$\boxed{\text{⑤}}\text{〜}\boxed{\text{⑦}}$については順は問わない．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さは$\boxed{\text{①}}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{②}}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の長さは$\boxed{\text{③}}$である．

(2)　この正八面体の中心$\mathrm{G}$の座標は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　残りの$3$つの頂点の座標は$\boxed{\text{⑤}}\text{，}\boxed{\text{⑥}}\text{，}\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　袋の中に$1$から$15$までの数字が$1$つずつ書かれた$15$枚の札が入っている．また，直線上に$2$つの場所$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を用意して，最初は$\mathrm{A}$に石を$1$つ置いておく．

　袋の中から$2$枚の札を同時に取り出し，取り出した札に書かれている数字の和が$12$以下ならば石は動かさず，$13$以上ならば，石が$\mathrm{A}$にあれば$\mathrm{B}$に，石が$\mathrm{B}$にあれば$\mathrm{A}$に移動させる．ただし，取り出した札は元の袋に戻すことにする．

　上の札を取り出し石を移動させる操作を$n$回繰り返した後で，石が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n\text{，}\mathrm{B}$にある確率を$b_n$とする．

　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a_1={\displaystyle \frac{2}{7}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{①}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{②}}\text{，}{a}_3=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$a_n+b_n=\boxed{\text{④}}$であることを用いて，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=\boxed{\text{⑤}}$となる．したがって，$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項は，$a_n=\boxed{\text{⑥}}\text{，}{b}_n=\boxed{\text{⑦}}$となる．